A l’entrada anterior hem vist que estudiar els casos particulars ens permetia arribar a la solució d’un cas més general. En aquesta entrada seguirem amb la mateixa idea: per resoldre un problema que pot resultar complicat per la seva mida o per contenir masses elements, resoldrem un problema similar el més senzill possible i l’anirem complicant fins arribar al problema proposat inicialment.
Us proposarem uns problemes que no són d’aquells que penseu que són “un pal”, que us recorden a la vostra infància; ben al contrari, són problemes per trencar-s’hi el coco, que quan no et surten et fan tanta ràbia que fins que no el soluciones no vas a dormir. Aquí us en deixem uns quants amb la seva resolució. Us recomanem que intenteu fer-los abans de donar-vos per vençuts i mirar la solució. Ànims i que el raonament inductiu us marqui el camí!
Us agraden els polígons? Doncs aquí un problema sobre quadrats…
PROBLEMA 1: Si us diguessin que el tauler d’escacs conté 204 quadrets us ho creuríeu…? Cert o fals? Comprova-ho!
Primerament, buscarem casos similars però més senzills. D’aquesta manera ens serà més fàcil resoldre el problema. Hem recollit l’estudi dels casos en aquesta taula:
Com que un tauler d’escacs té dimensions 8×8, haurem de calcular la suma:
No és difícil calcular aquesta suma, però utilitzarem la fòrmula que vam deduïr unes classes abans:
Substituïnt la n per 8, obtenim que:
Per tant, és cert que hi ha 204 quadrets!
L’heu aconseguit resoldre sense mirar la solució? Si és així, enhorabona!
I a continuació, un altre sobre polígons…
PROBLEMA 2: Quantes diagonals té un polígon convex de 85 costats?
Primerament, buscarem casos similars però més senzills. D’aquesta manera ens serà més fàcil resoldre el problema. Utilitzem la taula següent:
La sèrie del nombre de diagonals és: 0,2,5,9,14… El primer que observem és que:
És a dir, en afegir el 4t costat s’afegeixen 2 diagonals; en afegir el 5è costat s’afegeixen 3 diagonals; en afegir el 6è costat s’afegeixen 4 diagonals; en afegir el 7è costat s’afegeixen 5 diagonals…
Generalitzant, sembla que en afegir el 85è costat afegirem 83 diagonals, per tant, hem de calcular la suma:
Per calcular aquesta suma utilitzarem la fòrmula que vam comprovar a classe:
Substituïnt n per 83, obtenim:
Per tant, 
Mentre fèiem aquest exercici ens vam adonar que cada vèrtex s’unia amb tots els altres vèrtexs excepte 3: ell mateix i els dos dels costats. Però d’aquesta manera cada diagonal la comptariem dos cops, per tant vam deduïr que:
Si n és el nombre de costats del polígon:
Per tant, per al polígon de 85 costats tenim que:
I conicidia amb el resultat que haviem obtingut!
I a continuació us proposem un parell d’exercicis més:
PROBLEMA 3: Aquesta piràmide de nombres continua sota el mar. La suma total dels números del primer nivell és de 29791. Quants nivells de nombres té aquesta piràmide?
PROBLEMA 4: Es plega una tira de paper, llarga i prima, 10 vegades successives per la meitat. En desplegar-la, quants doblecs es veurà?
Us heu fixat que aquests nombres són també nombres quadrats?
El 
Évariste Galois va tenir una vida dura i molt curta. Pel que fa a la seva educació acadèmica va començar als dotze anys i no va ser fins als quinze que va entrar amb contacte amb les matemàtiques. Galois tenia clar que volia ser matemàtic i per això va fer les proves d’accés a l’ École Polytechnique l’any 1828, però per desgràcia seva va ser rebutjat. El destí no el va afavorir gaire i pocs dies abans de presentar-se al segon i definitiu examen d’accés a l’École Polytechnique, el pare d’Évariste es va suïcidar. I de nou va ser rebutjat. Aleshores va decidir fer la prova d’accés a l’École normale, que era de menys prestigi i allà si que el van acceptar. Però al juliol de 1830 els republicans es van revoltar i van obligar a l’exili al rei d’aquella època. Però el triomf dels republicans (entre els quals es trobava el jove Galois) va ser impedit per l’arribada al tron d’un nou rei, Lluis Felip d’Orleans. Galois va participar a totes les revoltes i manifestacions i per aquesta raó va ser expulsat de l’École Normale. A la primavera de 1831 (amb 19 anys) Galois va ser detingut i empresonat durant més d’un mes acusat de sedició. Inicialment va ser absolt, però va tornar a ser arrestat per una altra actitud sediciosa al juliol, i aquesta segona vegada va passar vuit mesos a la presó. Dos dies abans de la seva mort, Galois va ser alliberat de la presó. Évariste Galois, va morir durant un duel. La raó del duel era guanyar-se la dama a qui estimava i de la qual n’estava enamorat. El que queda per a la història és la nit anterior a l’esdeveniment. Évariste Galois estava tan convençut que moriria en aquell duel que va passar tota la nit escrivint cartes als seus amics republicans i component el que es convertiria en el seu testament matemàtic. Les seves últimes paraules al seu germà van ser:
Pierre de Fermat (1601-1665) va ser un advocat i matemàtic occità, conegut principalment per les seves aportacions a la teoria de nombres, especialment pel teorema que porta el seu nom. Fermat no va publicar mai res: volia mantenir-se en el més absolut anonimat. Comunicava la major part de la seva obra matemàtica en cartes a amics, sovint sense o amb poques proves dels seus teoremes. El 1679, 24 anys després de la seva mort, el seu fill, Samuel, publicà Varia opera mathematica on es recull bona part de l’obra del seu pare.
Andrew Wiles va estar deu anys darrera el problema, compaginant la seva professió de professor d’universitat amb l’intent de demostrar el teorema, tot sense que ningú ho sabés. Al 1992, al final d’una conferència de matemàtiques que no estava relacionada amb el teorema de Fermat, Andrew Wiles va escriure a la pissarra: …i aquesta és la demostració de l’últim teorema de Fermat. Tothom es va quedar perplex. Al cap d’uns mesos van trobar un mínim error que va fer que la demostració no fos vàlida. Degut a això, Wiles amb l’ajuda d’un amic tornen a intentar demostrar el teorema. Creieu que ho aconseguiran? Doncs sí, aquest cop Wiles va poder demostrar finalment aquest teorema.
AleshoresB 