Resolem un problema més simple i busquem pautes, regularitats

A l’entrada anterior hem vist que estudiar els casos particulars ens permetia arribar a la solució d’un cas més general. En aquesta entrada seguirem amb la mateixa idea: per resoldre un problema que pot resultar complicat per la seva mida o per contenir masses elements, resoldrem un problema similar el més senzill possible i l’anirem complicant fins arribar al problema proposat inicialment.

Us proposarem uns problemes que no són d’aquells que penseu que són “un pal”, que us recorden a la vostra infància; ben al contrari, són problemes per trencar-s’hi el coco, que quan no et surten et fan tanta ràbia que fins que no el soluciones no vas a dormir. Aquí us en deixem uns quants amb la seva resolució. Us recomanem que intenteu fer-los abans de donar-vos per vençuts i mirar la solució. Ànims i que el raonament inductiu us marqui el camí!

Us agraden els polígons? Doncs aquí un problema sobre quadrats…

PROBLEMA 1: Si us diguessin que el tauler d’escacs conté 204 quadrets us ho creuríeu…? Cert o fals? Comprova-ho!

Primerament, buscarem casos similars però més senzills. D’aquesta manera ens serà més fàcil resoldre el problema. Hem recollit l’estudi dels casos en aquesta taula:

taula

Com que un tauler d’escacs té dimensions 8×8, haurem de calcular la suma:

1

No és difícil calcular aquesta suma, però utilitzarem la fòrmula que vam deduïr unes classes abans:2

Substituïnt la n per 8, obtenim que:

3

Per tant, és cert que hi ha 204 quadrets!

L’heu aconseguit resoldre sense mirar la solució? Si és així, enhorabona!

I a continuació, un altre sobre polígons…

PROBLEMA 2: Quantes diagonals té un polígon convex de 85 costats? 

Primerament, buscarem casos similars però més senzills. D’aquesta manera ens serà més fàcil resoldre el problema. Utilitzem la taula següent:

final2

La sèrie del nombre de diagonals és: 0,2,5,9,14… El primer que observem és que:

4

És a dir, en afegir el 4t costat s’afegeixen 2 diagonals; en afegir el 5è costat s’afegeixen 3 diagonals; en afegir el 6è costat s’afegeixen 4 diagonals; en afegir el 7è costat s’afegeixen 5 diagonals…

Generalitzant, sembla que en afegir el 85è costat afegirem 83 diagonals, per tant, hem de calcular la suma:5

Per calcular aquesta suma utilitzarem la fòrmula que vam comprovar a classe:

6

Substituïnt n per 83, obtenim:

7

Per tant, 8

Mentre fèiem aquest exercici ens vam adonar que cada vèrtex s’unia amb tots els altres vèrtexs excepte 3: ell mateix i els dos dels costats. Però d’aquesta manera cada diagonal la comptariem dos cops, per tant vam deduïr que:

Si n és el nombre de costats del polígon:

9

Per tant, per al polígon de 85 costats tenim que:

10

I conicidia amb el resultat que haviem obtingut!

I a continuació us proposem un parell d’exercicis més:

PROBLEMA 3Aquesta piràmide de nombres continua sota el mar. La suma total dels números del primer nivell és de 29791. Quants nivells de nombres té aquesta piràmide?

piramide

PROBLEMA 4: Es plega una tira de paper, llarga i prima, 10 vegades successives per la meitat. En desplegar-la, quants doblecs es veurà?

 

Anuncis

Raonament inductiu: problemes

Bé, l’entrada d’avui també tractarà el raonament inductiu, però aquet cop aplicat a problemes geomètrics. Resoldrem aquests problemes amb l’ajuda del programa GeoGebra, ja que permet representar molts casos particulars simplement movent el cursor i així podem arribar fàcilment a generalitzar i trobar la solució.

En tots 2 problemes hi apareixen triangles, però els problemes són ben diferents:

Pista: Són problemes força difícils, tot i que semblen molt evidents de resoldre, ATENCIÓ!

Problema 1: La parcel·la electrificada

Una parcel·la amb forma de triangle equilàter està limitada per una tanca elèctrica. Cada costat de la parcel·la ha d’estar connectat al generador elèctric, que ha d’estar dins  la parcel·la. On ha de posar el propietari el generador per utilitzar la menor quantitat necessària de cable per connectar el generador amb la tanca?

parcela.PNG

Què creieu…? L’haurem de col·locar a l’ortocentre? Al baricentre? Al circumcentre?

Hem preparat un vídeo per a poder explicar visualment la resolució d’aquest problema, esperem que us agradi!

 

Problema 2: El camí més curt

Determina el camí més curt que uneix els 3 costats d’un triangle (tornant al punt de partida)

cami

Serà el camí que passa pels punts mitjos dels costats? O el que forma un triangle equilàter…?

Proveu de trobar-lo amb el full de Geogebra que us hem preparat al següent enllaç:

https://www.geogebra.org/apps/?id=xAVEJG7Z

Voleu saber la solució?

El camí més curt és el que passa pels punts per on les altures tallen les seves bases corresponents!!

Com que sabem que és difícil de creure, hem preparat un petit vídeo!

 

Mètode inductiu: igualtats.

En aquesta entrada seguirem practicant el raonament inductiu i la generalització: a partir d’unes igualtats per a uns casos particulars, passarem a la igualtat per al cas general. Doncs comencem:

Vegem un exemple: Observeu que aquestes igualtats es compleix, doncs seguint el mateix patró podem arribar a generalitzar-la:

exemple_1

El primer pas que realitzem és comprovar uns quants casos en particular. Tot seguit fem la generalització. Com veiem, a la part dreta de la igualtat ,hi ha la suma d’unes fraccions on el numerador sempre és 1 i el denominador és una potència de 2. Per tant quan generalitzem escrivim 2 a la n.

Seguim amb una altre exemple amb molta història i aparentment una mica més complex:

exemple_2

Aquesta generalització que pot semblar difícil d’entendre, la va fer el príncep de les matemàtiques amb 7 anys, Friedrich Gauss. L’anècdota explica que la professora li va fer sumar tots els nombres de l’1 al 100 per entretenir-lo durant una estona; aquest va trigar uns 3 minuts en resoldre aquest problema!! Gauss es va adonar que la suma del primer i l’últim donava el mateix que la del segon i el penúltim i així successivament. Aleshores era suficient sumar el primer amb l’últim i multiplicar-lo per la meitat del número de termes.

Intenteu a casa sumar tots els nombres de l’1 al 100 i afegiu un comentari del temps que heu trigat. Endavant, el templs ja ha começat!

Tot seguit farem tres problemes, amb un video per cadascun on s’expliquen aquestes igualtats de forma geomètrica:

a)exemple_3

b) exemple_4
c)exemple_5

Bé, esperem que hageu entès tots els exemples. Aquí us deixem uns exercicis que podeu resoldre vosaltres sols a casa. Per realitzar-los, us recomanem que primer feu el següent cas particular i tot seguit intenteu generalitzar. Que vagi bé!!

 

 

El mètode inductiu: Sèries numèriques amb sumes i productes en funció d’n

Sabeu què significa aquesta expressió?:

1

Representa la suma dels primers “n” nombres senars: els punts suspensius signifiquen “fins a…” i (2n-1) és l’expressió generals de l’enèssim nombre senar.

Podem trobar alguna fòrmula que ens digui què val aquesta suma en funció d’n?

Anem a intentar-ho! La millor manera és anar veient què val aquesta suma provant per a casos particulars, n=1, n=2, n=3, n=4, n=5, per intentar, mitjançant la inducció, arribar al cas general n.

2

Veieu alguna relació entre el nombre de termes (n) i el resultat de la suma? Doncs sí! La suma dona el quadrat del nombre de termes!!

3

Llavors, és fàcil generalitzar que:

4

Una prova visual d’aquesta igualtat és:

5

L’enteneu? Veieu la relació?

Anem a practicar la generalització amb un altre exemple. Enlloc de Sn tenim Pn, que vol dir anar multiplicant els nombres fins a n, per a tot n major o igual a 2:

6

Substituïm n per a n=2, n=3, n=4, n=5 i n=6:

7

A partir d’això podem observar que:

8

I ara us toca a vosaltres! Proveu de generalitzar aquestes expressions:

9

10

 

Raonament inductiu: Distribucions numèriques amb una incògnita

Seguim buscant patrons o lleis ara mitjançant les distribucions numèriques en les que els nombres enlloc d’anar un darrera l’altra, formaran part d’un dibuix o d’un conjunt de figures geomètriques que es repeteixen, per tal que puguem deduir-ne la seva llei i trobar el nombre que falta.

Anem a veure uns exemples:

Exemple 1: Serieu capaços de trobar el valor de x en la següent distribució numèrica?

d1.PNG

Nosaltres hem vist que sumant el número de la dreta més el de l’esquerra i restant el de dalt dona el del mig.F4-resultat

En la primera figura: 12+6-8=10

En la segona figura: 20+24-30 = 14

Per tant, en la tercera figura x = 15+16-20 = 11

 

Exemple 2: Quant valdrà la x?

d2

Com podeu comprovar, aquesta distribució numèrica també està formada per tres formes numèriques iguals i una d’elles conté una incògnita. Quin patró segueixen?F8

Nosaltres hem trobat que si sumem els 3 números de la dreta i multipliquem el resultat pel número de l’esquerra dona el número que està a baix!

A la primera figura: (1+2+3)*2 = 12

A la segona figura: (2+3+1)*5 = 30F7-resultat

Per tant, a la tercera figura:

x = (3+2+1)*4 = 24

 

 

Després d’haver fet aquests exemples, ja va és hora de que en proveu de fer un vosaltres sols. Per això us plantegem dues distribucions numèriques per a que trobeu el valor de la incògnita.

Molta sort i ànims!

Exercici 1:

e1.PNG

Exercici 2:

e2

ç

 

 

 

RAONAMENT INDUCTIU: SÈRIES NUMÈRIQUES

Vegem ara, una altre forma d’aplicar el raonament inductiu: a les sèries numèriques.

Recordeu aquells passatemps que tracten de trobar els números que segueixen?

series_orugues

En aquesta entrada us proposem que poseu a prova el vostre raonament inductiu per intentar trobar els valors que segueixen a algunes sèries. Us atreviu?

Abans de res, us explicarem algunes que hem fet a classe per a que veieu com es fan:

Exemple 1:   1, 4 , 9 , 16 , 25 ,…

Fixeu-vos que entre 1 i 4 van tres. En canvi, entre 4 i 9 van 5, entre 9 i 16 van 7 i entre 16 i 25 van 9. Observant aquestes xifres (3, 5 , 7 i 9), és fàcil veure que són els nombres senars. Per tant, el següent nombre serà 25+11 = 36 i el següent 36 + 13 = 49, i així successivament…

nombres quadratsUs heu fixat que aquests nombres són també nombres quadrats?

1=12 ,  4=22 , 9=32 , 16=42, 25=52

 

Exemple 2:  1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 …

Aquesta sembla una mica més complicada i ens va portar una mica més de temps de treure-la, però tampoc és difícil observar que cada terme s’obté sumant els dos anteriors:

1+1 = 2, 1+2 =3, 2+3 = 5, 3+5=8, 5+8=13, 8+13=21, ….

Per tant, els següents termes seran: 89 (34+55) i  144 (55+89)0

Aquesta successió és tan especial que té nom propi. S’anomena successió de Fibonacci. Aquesta seqüència apareix en diversos patrons de la naturalesa i també té molta relació amb el nombre d’or o proporció Àurea. Però tot això ja ho veurem més endavant…

fibonacc_2iimagen_variedad_proporcion_aurea

Exemple 3: 1 , 5 , 19 , 49 , 101 …

Què?! Aquesta ja és més complicada, no??

Quan en una sèrie no acabes de veure quin és el patró que segueix, a vegades un bon mètode per trobar-lo és fer les diferències successives. Aquest mètode consisteix en construir la successió que resulta de fer la resta entre els termes consecutius de la successió. A continuació, es torna a repetir aquest procés amb la nova successió fins que arribem a que aquestes restes són constants.

Fixeu-vos en aquesta animació que hem fet per a que entengueu aquest procés:

diferencies

Sabíeu que també existeixen series gràfiques, amb dibuixos o figures. En la pròxima entrada veureu distribucions numèriques representades en figures. Veureu com també haureu d’utilitzar el raonament inducctiu.

Ara sí, us plantegem algunes sèries per a que les continueu vosaltres. A veure si sou capaços!

1) 8,13,23,38,58…

2) 7, 14, 16, 32, 34, ….

3) 3,14,31,54,83,118…

4) 5,15,37,77,141…

5) 1,4,11,22,37,56…

(Les respostes les publicarem pròximament als comentaris d’aquesta mateixa entrada)

EL RAONAMENT INDUCTIU

droopy-investigadorEl raonament inductiu, inducció o mètode lògic inductiu és el procés de raonament pel qual s’arriba a una conclusió a partir de la generalització. Es parteix de l’observació d’una propietat per a casos particulars (premises), i aquest tipus de raonament ens permet generalitzar-la per a molts més casos arribant a la esmentada conclusió.

Veiem un exemple:

Premisses (casos particulars):

  • He observat el corb número 1 i és de color negre.observació corb
  • El corb número 2 també és negre.
  • El corb número 3 també és negre.
  • El corb número 4 també és negre

Conclusió (afirmació general):

  • Aleshores, tots els corbs són negres.

En matemàtiques, aquest tipus de raonament ens permet elaborar conjectures.

Per exemple:

La suma de dos nombres parells és…

2+4= 6 -> Parell // 16+44= 60 -> Parell // 200+36 = 236 -> Parell

Veiem que tots els resultats particulars són parells, generalitzant podem dir que:

La suma de dos nombres parells és… parell.

Aquesta afirmació ens sembla que serà certa, però es veu que caldrà una demostració formal per a poder-ne estar convençuts…

A classe, hem fet uns exercicis en els quals hem pogut practicar el raonament inductiu. Aquí us posarem uns quants exemples resolts i alguns per resoldre.

Exemple 1: El producte de dos nombres senars és … ??

3×9=27 -> Senar // 25×3= 75 -> Senar //  33×11= 363 -> Senar

I com que tots són senars doncs…

El producte de dos nombres senars és… senar

Exemple 2: El quadrat d’un nombre parell és… ??

22 = 4 -> Parell // 42= 16 -> Parell // 62= 36 -> Parell

I com que tots són parells doncs…

El quadrat d’un nombre parell és… parell

Exemple 3: Si n és múltiple de 3 aleshores n2 -n és múltiple de …. ??

n= 3  -> 32– 3 = 6 // n = 6 -> 62 – 6 = 30 // n= 9 -> 92  – 9 = 72

Observem que tots són múltiples de 3 i de 6 però com que tot múltiple de 6 també ho ha de ser de 3, per tant ser múltiple de 6 és més general, doncs…

Si n és múltiple de 3 aleshores n2-n és múltiple de…. 6

Exemple 4: Si n és un nombre enter qualsevol n2  + 3n + 4 és …. ??

n = 4 -> 16 + 12 + 4 = 32 // n = 7 -> 49 + 21 + 4 = 74 // n = 8 -> 64 + 24 + 4 = 92 

Observem que tots els nombres que hem obtingut són parells, per tant…

Si n és un nombre enter qualsevol n2  + 3n + 4 és …. parell

No sembla difícil, no?. Us atreviu a fer-ho vosaltres? pyohpp352874

Proveu-ho amb aquests exercicis, ja veureu que en sou capaços!

  1. Si n2 és senar, aleshores n és…
  2. El producte de dos nombres senar és..
  3. La suma d’un nombre parell i un senar és…
  4. Si n és un nombre natural aleshores (2n-2)·(2n+1)·(2n+3) és múltiple de…
  5. Si n és senar aleshores n3-n és múltiple de…
  6. Si n és un nombre enter qualsevol n3+3n2+5n és múltiple de…
  7. Si a un nombre (de més d’una xifra i que no sigui capicúa) li restem el nombre que resulta d’invertir les seves xifres el resultat és múltiple de…. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

La quadratura del cercle

La quadratura del cercle és un dels tres problemes clàssics de l’antigüetat. Aquest problema diu que no es pot construir amb regle i compàs un quadrat que tingui la mateixa àrea que un cercle (degut a que pi és trascendent, no és solució de cap equació). Ara us preguntareu: I quins són els altres dos problemes? Doncs mireu els matemàtics de la Grècia clàssica van proposar tres problemes geomètrics matemàtics:

  • La quadratura del cerclequadratura cercle
  • La trissecció de l’angle, que proposa, donat un angle qualsevol, construir un angle que sigui la tercera part de l’angle donat.trisecció angle
  • La duplicació del cub, que proposa donat un cub qualsevol, construir un altre cub de volum doble que l’anterior.duplicació cub

No va ser fins molts segles més tard que el francès Évariste Galois, nascut al 1811 i mort l’any 1832, va el·laborar la teoria que actualment porta el seu nom. La teoria de Galois feia així: “No existeix cap fórmula per les solucions de les equacions de grau superior a 4”. Amb aquesta teoria posà fi als tres problemes clàssics de la geometria grega, ja que demostra que cap dels tres no es pot construir amb regle i compàs.

Molts matemàtics van provar sense èxit de resoldre aquest problema, desde l’antiguetat clàssica al segle XIX, per això, en sentit figurat, diem que una cosa és “la quadratura del cercle” quan és molt difícil o és impossible.

Evariste_galoisÉvariste Galois va tenir una vida dura i molt curta. Pel que fa a la seva educació acadèmica va començar als dotze anys i no va ser fins als quinze que va entrar amb contacte amb les matemàtiques. Galois tenia clar que volia ser matemàtic i per això va fer les proves d’accés a l’ École Polytechnique l’any 1828, però per desgràcia seva va ser rebutjat. El destí no el va afavorir gaire i pocs dies abans de presentar-se al segon i definitiu examen d’accés a l’École Polytechnique, el pare d’Évariste es va suïcidar. I de nou va ser rebutjat. Aleshores va decidir fer la prova d’accés a l’École normale, que era de menys prestigi i allà si que el van acceptar. Però al juliol de 1830 els republicans es van revoltar i van obligar a l’exili al rei d’aquella època. Però el triomf dels republicans (entre els quals es trobava el jove Galois) va ser impedit per l’arribada al tron d’un nou rei, Lluis Felip d’Orleans. Galois va participar a totes les revoltes i manifestacions i per aquesta raó va ser expulsat de l’École Normale. A la primavera de 1831 (amb 19 anys) Galois va ser detingut i empresonat durant més d’un mes acusat de sedició. Inicialment va ser absolt, però va tornar a ser arrestat per una altra actitud sediciosa al juliol, i aquesta segona vegada va passar vuit mesos a la presó. Dos dies abans de la seva mort, Galois va ser alliberat de la presó. Évariste Galois, va morir durant un duel. La raó del duel era guanyar-se la dama a qui estimava i de la qual n’estava enamorat. El que queda per a la història és la nit anterior a l’esdeveniment. Évariste Galois estava tan convençut que moriria en aquell duel que va passar tota la nit escrivint cartes als seus amics republicans i component el que es convertiria en el seu testament matemàtic. Les seves últimes paraules al seu germà van ser:

“No ploris! Necessito tot el meu coratge per morir als 20 anys.”

En aquests últims papers va descriure els detalls del treball que havia desenvolupat. Va anotar una còpia del manuscrit que havia remès a l’acadèmia juntament amb altres articles.

Aquí us adjuntem un enllaç dels fragments de la pel·lícula “nada es casualidad 3:19” que explica la vida d’Évariste Galois:

Tot i que el cercle no es pot transformar amb quadrat tenint la mateixa àrea, està demostrat que sí que es pot fer amb tots els polígons.

A classe ho hem pogut comprovar fent els puzzles de poligons regulars. Aquí us deixem alguns exemples:

Quadratura de l’octàgon:

Quadratura del dodecàgon:

En el següent enllaç, del grupo Alquerque, podreu trobar les plantilles per a fer-vos els vostres propis puzzles i les seves solucions:

http://www.grupoalquerque.es/ferias/2004/p_regular.html

 

L’útim Teorema de Fermat

L’últim teorema de Fermat és i serà un dels problemes més importants de les matemàtiques. No el podem trobar dins d’un dels set problemes del mil·lenni perquè va ser resolt una mica abans del 2000, però va estar obert més de 350 anys.

El teorema diu: l’equació xn + yn = zn no té solucions enteres si n és igual o més gran que 3. Si n és igual a 2, trobem un teorema molt famós que segur que reconeixereu fàcilment… Sí, l’important i conegut teorema de Pitàgores.

Si t’hi fixes, x2 + y2 = z2 té infinites solucions enteres, tantes com triangles rectangles amb costats enters.

Per exemple:

  • x=3, y=4 i z=5 és solució ja que         32 + 42 = 52                9 + 16 = 25
  • x=5, y=12 i z=13 també ho és ja que  52 + 122 = 132           25 + 144 = 169

El Teorema de Pitàgores ens diu que és possible descomposar un quadrat (de costats enters) com a suma de dos quadrats (de costats enters).

En canvi…

l’equació   x3 + y3 = z3   no té solucions amb x,y,z nombres enters.

Provem per exemple   x=3, y=4 i z=5:         33 + 43 = 53            27 + 64 no és igual a 125

El Teorema de Fermat, en canvi, ens diu que no és possible descomposar un cub (de costats enters) com a suma de dos cubs (de costats enters), ni cap potència quarta com a suma de dues potències quartes…

teorema de fermat

I ara us deveu preguntar: “Quin pesat va inventar aquest teorema tan complicat i tant difícil de demostrar…?”

Pierre de Fermat (1601-1665) va ser un advocat i matemàtic occità, conegut principalment per les seves aportacions a la teoria de nombres, especialment pel teorema que porta el seu nom. Fermat no va publicar mai res: volia mantenir-se en el més absolut anonimat. Comunicava la major part de la seva obra matemàtica en cartes a amics, sovint sense o amb poques proves dels seus teoremes. El 1679, 24 anys després de la seva mort, el seu fill, Samuel, publicà Varia opera mathematica on es recull bona part de l’obra del seu pare.

Fermat sempre va considerar les matemàtiques com un entreteniment, un refugi de les contínues disputes amb les que havia de treballar com a jurista i advocat. Tenia tots els seus estudis en llibres i apunts. En el marge de la pàgina 85 del seu exemplar de l’Arithmetica de Diofant va escriure, sense demostració, la seva famosa conjectura:

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi, hanc marginis exiguitas non caperet. És impossible descomposar un cub en dos cubs, un biquadrat en dos biquadrats, i en general, una potència qualsevol, a part del quadrat, en dos potències del mateix exponent. He trobat una demostració realment admirable, però el marge del llibre és molt petit per posar-la.

Va ser tanta la repercusió d’aquest comentari que a l’edició del 1670 de l’obra de Diofant ja surt imprès l’observació de Fermat, el seu famós teorema.

Diophantus-II-8-Fermat

La demostració del problema va tardar més de 350 anys i va ser feta per Andrew Wiles; tot i així, molts matemàtics anteriors, com Fermat mateix, Euler, Sophie Germain i d’altres van contribuir posant el seu granet de sorra. El conjunt de totes aquelles petites demostracions van ajudar a Wiles a resoldre el complicat problema… Creieu, doncs, que Fermat tenia realment la demostració del teorema?

Andrew-Wiles-300x208Andrew Wiles va estar deu anys darrera el problema, compaginant la seva professió de professor d’universitat amb l’intent de demostrar el teorema, tot sense que ningú ho sabés. Al 1992, al final d’una conferència de matemàtiques que no estava relacionada amb el teorema de Fermat, Andrew Wiles va escriure a la pissarra: …i aquesta és la demostració de l’últim teorema de Fermat. Tothom es va quedar perplex. Al cap d’uns mesos van trobar un mínim error que va fer que la demostració no fos vàlida. Degut a això, Wiles amb l’ajuda d’un amic tornen a intentar demostrar el teorema. Creieu que ho aconseguiran? Doncs sí, aquest cop Wiles va poder demostrar finalment aquest teorema.

Molts dels estudis de Wiles per demostrar el teorema, van ajudar a resoldre altres petites conjectures.

A continuació us deixem un documental produït per la BBC en la sèrie Horizont, en el qual el propi Wiles ens detalla les diferents etapes que va passar per arribar a la demostració del teorema.

El Ultimo Teorema de Fermat from Moisés Toledo on Vimeo.

I també, us deixem el capítol 4 de la col·lecció Universo matemàtico, dedicat a Fermat i al seu famós teorema.