Axiomes, conjectures i teoremes

El raonament deductiu és aquell que partint d’unes condicions i seguint unes pautes lògiques¹ permet arribar a una conclusió. És un raonament que va del general al particular.

Perquè la conclusió d’un raonament deductiu sigui certa, les premisses (condicions) de les quals parteixen han de ser vertaderes.

Un axioma és una afirmació que no s’ha de demostrar ja que és evident i vertadera.

En l’obra Els elements d’Euclides, apareixen els cinc axiomes/postulats de la geometria Euclidiana:

1. Donats dos punts qualsevol només es pot traçar una recta que els uneixi.
2. Qualsevol segment pot prolongar-se de forma contínua en qualsevol sentit.
3. Es pot traçar una circumferència amb centre qualsevol punt i de qualsevol radi.
4. Tots els angles rectes són iguals.
5. Per un punt exterior en una recta, es pot traçar una única paral·lela a la recta.

A partir d’aquests axiomes es contrueix tota la geometria plana.

Al S.XVIII, es comença a comprovar la validesa del 5è axioma partint de la premisa de que sigui fals. A partir de la negació d’aquest, sorgeixen dues noves geometries:

1. GEOMETRIA HIPERBÒLICA:
   • Gauss, Lobachevsky i Bolyai
   • Van substituir el cinquè postulat pel següent axioma: “Per un punt exterior a una recta es poden traçar més d’una paral·lela a la recta donada”.
   • En aquesta geometria, la suma dels angles d’un triangle sumen menys de 180 graus.

2. GEOMETRIA ESFÈRICA:
   • Riemman
   • Va substituir el cinquè postulat pel següent axioma: “Per un punt exterior a una recta no passen rectes que no la tallin, és a dir, no existeixen rectes paral·leles.
   • En aquesta geometria, la suma dels angles d’un triangle sumen més de 180 graus.

Gràcies a aquestes dues geometries, Albert Einstein va poder elaborar, ara fa 100 anys, la Teoria de la Relativitat General, la qual diu que l’espai i el temps estan relacionats.

El raonament inductiu és aquell que partint de casos particulars permet formular afirmacions de caràcter general. Aquest tipus de raonament és utilitzat per realitzar hipòtesi o conjectures.

Una conjectura és una afirmació per a les quals hi ha bones intuïcions de que és vertadera però encara no ha estat demostrada, no té un raonament.

Un teorema és una afirmació que està demostrada i té una importància rellevant, en resum, és una conjectura demostrada.

 

¹Regles d’indiferència creades pel filòsof Aristòtil al S.IV aC.

A continuació, us deixem un video que explica algunes conjectures (problemes encara oberts) i alguns dels teoremes més famosos de les matemàtiques pel temps que van tardar en demostrar-se. Aquestes conjectures i teoremes els estudiarem al llarg d’aquesta matèria.

Us n’anirem informant!