La quadratura del cercle

La quadratura del cercle és un dels tres problemes clàssics de l’antigüetat. Aquest problema diu que no es pot construir amb regle i compàs un quadrat que tingui la mateixa àrea que un cercle (degut a que pi és trascendent, no és solució de cap equació). Ara us preguntareu: I quins són els altres dos problemes? Doncs mireu els matemàtics de la Grècia clàssica van proposar tres problemes geomètrics matemàtics:

• La quadratura del cercle
• La trissecció de l’angle, que proposa, donat un angle qualsevol, construir un angle que sigui la tercera part de l’angle donat.
• La duplicació del cub, que proposa donat un cub qualsevol, construir un altre cub de volum doble que l’anterior.

No va ser fins molts segles més tard que el francès Évariste Galois, nascut al 1811 i mort l’any 1832, va el·laborar la teoria que actualment porta el seu nom. La teoria de Galois feia així: “No existeix cap fórmula per les solucions de les equacions de grau superior a 4”. Amb aquesta teoria posà fi als tres problemes clàssics de la geometria grega, ja que demostra que cap dels tres no es pot construir amb regle i compàs.

Molts matemàtics van provar sense èxit de resoldre aquest problema, desde l’antiguetat clàssica al segle XIX, per això, en sentit figurat, diem que una cosa és “la quadratura del cercle” quan és molt difícil o és impossible.

Évariste Galois va tenir una vida dura i molt curta. Pel que fa a la seva educació acadèmica va començar als dotze anys i no va ser fins als quinze que va entrar amb contacte amb les matemàtiques. Galois tenia clar que volia ser matemàtic i per això va fer les proves d’accés a l’ École Polytechnique l’any 1828, però per desgràcia seva va ser rebutjat. El destí no el va afavorir gaire i pocs dies abans de presentar-se al segon i definitiu examen d’accés a l’École Polytechnique, el pare d’Évariste es va suïcidar. I de nou va ser rebutjat. Aleshores va decidir fer la prova d’accés a l’École normale, que era de menys prestigi i allà si que el van acceptar. Però al juliol de 1830 els republicans es van revoltar i van obligar a l’exili al rei d’aquella època. Però el triomf dels republicans (entre els quals es trobava el jove Galois) va ser impedit per l’arribada al tron d’un nou rei, Lluis Felip d’Orleans. Galois va participar a totes les revoltes i manifestacions i per aquesta raó va ser expulsat de l’École Normale. A la primavera de 1831 (amb 19 anys) Galois va ser detingut i empresonat durant més d’un mes acusat de sedició. Inicialment va ser absolt, però va tornar a ser arrestat per una altra actitud sediciosa al juliol, i aquesta segona vegada va passar vuit mesos a la presó. Dos dies abans de la seva mort, Galois va ser alliberat de la presó. Évariste Galois, va morir durant un duel. La raó del duel era guanyar-se la dama a qui estimava i de la qual n’estava enamorat. El que queda per a la història és la nit anterior a l’esdeveniment. Évariste Galois estava tan convençut que moriria en aquell duel que va passar tota la nit escrivint cartes als seus amics republicans i component el que es convertiria en el seu testament matemàtic. Les seves últimes paraules al seu germà van ser:

“No ploris! Necessito tot el meu coratge per morir als 20 anys.”

En aquests últims papers va descriure els detalls del treball que havia desenvolupat. Va anotar una còpia del manuscrit que havia remès a l’acadèmia juntament amb altres articles.

Aquí us adjuntem un enllaç dels fragments de la pel·lícula “nada es casualidad 3:19” que explica la vida d’Évariste Galois:

Tot i que el cercle no es pot transformar amb quadrat tenint la mateixa àrea, està demostrat que sí que es pot fer amb tots els polígons.

A classe ho hem pogut comprovar fent els puzzles de poligons regulars. Aquí us deixem alguns exemples:

Quadratura de l’octàgon:

octàgon

quadrat

Quadratura del dodecàgon:

dodecàgon

quadrat

En el següent enllaç, del grupo Alquerque, podreu trobar les plantilles per a fer-vos els vostres propis puzzles i les seves solucions:

http://www.grupoalquerque.es/ferias/2004/p_regular.html

 

L’útim Teorema de Fermat

L’últim teorema de Fermat és i serà un dels problemes més importants de les matemàtiques. No el podem trobar dins d’un dels set problemes del mil·lenni perquè va ser resolt una mica abans del 2000, però va estar obert més de 350 anys.

El teorema diu: l’equació xⁿ + yⁿ = zⁿ no té solucions enteres si n és igual o més gran que 3. Si n és igual a 2, trobem un teorema molt famós que segur que reconeixereu fàcilment… Sí, l’important i conegut teorema de Pitàgores.

Si t’hi fixes, x² + y² = z² té infinites solucions enteres, tantes com triangles rectangles amb costats enters.

Per exemple:

• x=3, y=4 i z=5 és solució ja que         3² + 4² = 5²                9 + 16 = 25
• x=5, y=12 i z=13 també ho és ja que  5² + 12² = 13²           25 + 144 = 169

El Teorema de Pitàgores ens diu que és possible descomposar un quadrat (de costats enters) com a suma de dos quadrats (de costats enters).

En canvi…

l’equació   x³ + y³ = z³   no té solucions amb x,y,z nombres enters.

Provem per exemple   x=3, y=4 i z=5:         3³ + 4³ = 5³            27 + 64 no és igual a 125

El Teorema de Fermat, en canvi, ens diu que no és possible descomposar un cub (de costats enters) com a suma de dos cubs (de costats enters), ni cap potència quarta com a suma de dues potències quartes…

I ara us deveu preguntar: “Quin pesat va inventar aquest teorema tan complicat i tant difícil de demostrar…?”

Pierre de Fermat (1601-1665) va ser un advocat i matemàtic occità, conegut principalment per les seves aportacions a la teoria de nombres, especialment pel teorema que porta el seu nom. Fermat no va publicar mai res: volia mantenir-se en el més absolut anonimat. Comunicava la major part de la seva obra matemàtica en cartes a amics, sovint sense o amb poques proves dels seus teoremes. El 1679, 24 anys després de la seva mort, el seu fill, Samuel, publicà Varia opera mathematica on es recull bona part de l’obra del seu pare.

Fermat sempre va considerar les matemàtiques com un entreteniment, un refugi de les contínues disputes amb les que havia de treballar com a jurista i advocat. Tenia tots els seus estudis en llibres i apunts. En el marge de la pàgina 85 del seu exemplar de l’Arithmetica de Diofant va escriure, sense demostració, la seva famosa conjectura:

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi, hanc marginis exiguitas non caperet.

És impossible descomposar un cub en dos cubs, un biquadrat en dos biquadrats, i en general, una potència qualsevol, a part del quadrat, en dos potències del mateix exponent. He trobat una demostració realment admirable, però el marge del llibre és molt petit per posar-la.

Va ser tanta la repercusió d’aquest comentari que a l’edició del 1670 de l’obra de Diofant ja surt imprès l’observació de Fermat, el seu famós teorema.

La demostració del problema va tardar més de 350 anys i va ser feta per Andrew Wiles; tot i així, molts matemàtics anteriors, com Fermat mateix, Euler, Sophie Germain i d’altres van contribuir posant el seu granet de sorra. El conjunt de totes aquelles petites demostracions van ajudar a Wiles a resoldre el complicat problema… Creieu, doncs, que Fermat tenia realment la demostració del teorema?

Andrew Wiles va estar deu anys darrera el problema, compaginant la seva professió de professor d’universitat amb l’intent de demostrar el teorema, tot sense que ningú ho sabés. Al 1992, al final d’una conferència de matemàtiques que no estava relacionada amb el teorema de Fermat, Andrew Wiles va escriure a la pissarra: …i aquesta és la demostració de l’últim teorema de Fermat. Tothom es va quedar perplex. Al cap d’uns mesos van trobar un mínim error que va fer que la demostració no fos vàlida. Degut a això, Wiles amb l’ajuda d’un amic tornen a intentar demostrar el teorema. Creieu que ho aconseguiran? Doncs sí, aquest cop Wiles va poder demostrar finalment aquest teorema.

Molts dels estudis de Wiles per demostrar el teorema, van ajudar a resoldre altres petites conjectures.

A continuació us deixem un documental produït per la BBC en la sèrie Horizont, en el qual el propi Wiles ens detalla les diferents etapes que va passar per arribar a la demostració del teorema.

El Ultimo Teorema de Fermat from Moisés Toledo on Vimeo.

I també, us deixem el capítol 4 de la col·lecció Universo matemàtico, dedicat a Fermat i al seu famós teorema.

El Teorema de Poincaré

Us proposem el següent joc:

Sabríeu reconèixer quin d’aquests personatges és  considerat un dels més intel·ligent del món pel seu alt C.I (238) i per haver resolt un problema matemàtic que portava gairebé 100 anys sense resoldre’s?

Molt bé! De ben segur que ho heu encertat!

Aquest home de cabell despentinat, barba descuidada, ungles llargues, mirada perduda i amb roba vella ha revolucionat les matemàtiques, ha obert nous camps d’investigació, ha obtingut i refusat els premis més prestigiosos de matemàtiques, inclòs un milió de dòlars,  i ha resolt la famosa Conjectura de Poincaré.

Voleu saber una mica més d’aquesta història?

El Teorema de Poincaré és un dels set problemes del mil·lenni, proposats per l’institut Clay de Matemàtiques (sona bastant bé); de fet, és l’únic que s’ha resolt. Quan parlem dels “set problemes del mil·lenni” parlem dels que es consideren els problemes més importants de les matemàtiques, i els més difícils de resoldre. Aquests problemes són: P versus NP, La conjectura de Hodge, La hipòtesis de Riemann, l’existència i “mass gap” de la teoria de Yang-Mills, l’existència i “suavitat” de Navier-Stokes, la conjectura de Biirch i Swinnerton-Dyer, i la Conjectura de Poincaré”. Aquest últim és del que anirà l’entrada. Per cert, aquests problemes estan cadascun d’ells premiats amb un milió de dòlars per qui els resolgui.

Teoria de Grafs

Us anem a proposar un problema:

Podries creuar tots els pont començant per qualsevol però sense creuar un mateix pont dos cops?Aquest curiós problema va donar lloc a la Teoria de Grafs ja que per a la seva resolució, Leonhard Euler, va crear un graf substituint les illes i riberes per punts i els ponts per arestes. I així, va aconseguir demostrar que no era possible recorrer els set pont sense haver de repetir-ne algun.

         

El problema va sorgir l’any 1736, perquè a una ciutat anomenada Königsberg, situada a Rússia però que abans era d’Alemanya, es volia fer una desfilada, i els habitants de la ciutat es van plantejar si podien creuar els 7 ponts sense repetir-ne cap. Van demanar ajuda a Euler i ell va resoldre el problema.

Euler es va adonar que el problema es resolia en funció del grau dels nodes o vèrtexs (és a dir, del número d’arestes que hi arriben): Va provar que el circuit que es desitjava era possible si hi ha exactament dos nodes o ningun de grau senar. Si no n’hi ha cap (tots els vèrtexs parells) és possible començar en qualsevol node i acabar en el mateix, en canvi, si n’hi ha dos de senars cal començar en un d’ells i acabar en l’altre.

En el cas dels ponts de Königsberg hi ha 3 nodes de grau 3 i un de grau 5, per tant, tots quatre són senars i per això no es pot recorrer.

Ara intenta recorre aquests grafs passant per totes les arestes sense repetir-ne cap. Sabries fer el mateix sortint d’un punt i tornant al mateix?

                  

Ja ho heu provat?

Haureu comprovat que el primer graf es pot recórrer partint de qualsevol vèrtex i tornant al mateix. Això és degut a que tots els seus vèrtexs són parells (tots tenen grau 4). Un graf així s’anomena Eulerià.

El segon graf es pot recórrer només si començem en el vèrtexs G o H i l’acabem sempre en l’altre. Això és degut a que aquests són els seus únics dos vèrtexs senars (G té grau 3 i H té grau 1). Un graf així s’anomena Semieulerià.

El tercer graf no es pot recórrer sense repetir alguna aresta. Això és degut a que té més de 2 vèrtexs senars (A, B, C i D tenen grau 3). Un graf així s’anomena No-Eulerià.

Si no n’heu tingut prou, proveu de passar pels 17 ponts que uneixen entre sí les parts del territori de Leningrad, sense recórrer ningun d’ells dues vegades:

L’any 1931, un enginyer elèctric i matemàtic que es deia Harry Beck va crear el recorregut de les línies de metro de Londres a través d’un disseny topogràfic i no geogràfic com els anteriors i aplicant la teoria de Grafs. Fins avui dia la idea topogràfica de Beck es la més utilitzada en el mon per aquests tipus de plànols.

Us deixem una pàgina web molt interesant sobre grafs on podeu practicar tot això:

https://dl.dropboxusercontent.com/u/44162055/manipulables/topologia/topologia_trazos.html

El següent enllaç és un editor de grafs:

http://illuminations.nctm.org/Activity.aspx?id=3550

Teorema dels quatre colors

Quants colors creieu que fan falta per tal d’acolorir un mapa sense que dues regions limítrofes (que estan l’una al costat de l’altre) tinguin el mateix color sense considerar les que es tallen en un sol punt? Dos? Vuit? Cinc?

El teorema dels quatre colors diu que qualsevol mapa dibuixat sobre un pla o sobre una esfera es pot acolorir amb quatre colors distints de manera que dues regions adjacents no siguin del mateix color, com per exemple en aquest mapa

Francis Guthrie

El teorema va ser plantejat per primer cop l’any 1852 per Francis Guthrie a la seva germana després d’acolorir un mapa de Gran Bretanya. El problema es va plantejar de la següent manera: “Són suficients quatre colors per acolorir qualsevol mapa imaginable de manera que cap país amb límits comuns tingui el mateix color?”. I així una simple pregunta per divertir a una germana, es va convertí en un problema matemàtic que va estar obert més de 100 anys.

 

El teorema va ser demostrat l’any 1976 per Kenneth Appel i Wolfgang Hanken. Va ser una demostració que va crear una gran polèmica degut a que va ser assistida per un ordinador i per tant era impossible de comprovar a mà per un humà. Aquesta demostració es basava en demostrar que hi ha un conjunt particular de 1.936 mapes, cadascun dels quals no pot formar part d’un contraexemple de mida més petita pel teorema dels quatre colors i aquests mapes van ser comprovats per un ordinador. Anys més tard, el 1997, va ser demostrat d’una manera més senzilla per Neil Robertson, Daniel P. Sanders, Paul Seymour i Robin Thomas. El 2005, Benjamin Werner i Georges Gonthier van formalitzar una demostració del teorema dins de l’assistent de proves Coq. La resolució d’aquest teorema està molt lligada amb la Teoria de Grafs, ja que va definir termes i conceptes fonamentals per a l’estudi dels grafs (els grafs són col·leccions d’objectes, anomenats vèrtex connectats per línies anomenades arestes.

Kenneth Appel (sentat) i Wolfgang Hanken (dret)

Martin Gadner deia haver trobat un contra-exemple de la teoria dels quatre colors, però era fals. Aquí us deixem el mapa que va fer perquè el pugueu veure i provar de resoldre’l només usant quatre colors: http://www.xtec.cat/~jjareno/problemes/geometrics/4_colors_e.htm

Però… com podem estar segurs de que estem acolorint un mapa amb el mínim de colors necessaris? Doncs utilitzant l’algoritme d’acolorit.

Primer hem de saber que tot mapa, en el pla o en l’esfera pot ser representat mitjançant graf i si cap aresta es talla amb una altra el graf s’anomena planar. Així doncs, començarem l’algoritme fent el graf planar corresponent al mapa que volem acolorir. Cada regió serà un vèrtex i posarem una aresta entre els vèrtexs que representin regions contigües.

Tot seguit, ordenarem els vèrtexs en ordre decreixent segons el grau (nombre d’arestes que té un vèrtex).

Assignarem colors a cada vèrtex de la següent manera:

1. Assignarem el primer color al primer vèrtex.
2. Al segon vèrtex li assignarem el primer color si no és adjacent i si ho és li assignarem el segon color.
3. Si el tercer vèrtex és adjacent a tots dos anteriors li assignarem el tercer color, si no és adjacent al primer vèrtex li assignarem el primer color i si és adjacent al primer, però no al segon vèrtex li assignarem el segon color.
4. Seguirem amb aquest procés fins que haguem assignat un color a tots els vèrtex.

Finalment acolorirem el graf i tot seguit el mapa.

En aquest enllaç podreu veure aquest procés d’acolorit, pas a pas, per al mapa de les Comunitats Autònomes d’Espanya, i veureu que és suficient pintar-lo amb només 3 colors.

Els grafs planars van ser ideats per Euler, un famós matemàtic molt important. A continuació us deixem un vídeo sobre la vida d’aquest home.

A la següent entrada, uns companys nostres us explicaran com saber si un graf es pot recòrrer d’una sola passada!

Conjectura dels nombres perfectes senars

Abans d’enunciar aquesta conjectura anem a veure alguns conceptes que ens ajudaran a entendre-la:

• Nombres primers de Mersenne

Un nombre és primer de Mersenne si és un nombre primer de la forma M_n= 2ⁿ-1. Aquí us deixem alguns exemples:

n	Mn	Mn és primer?
2	3	Sí
3	7	Sí
4	15	No
5	31	Sí
6	63	No
7	127	Sí
8	255	No
9	511	No
10	1023	No
11	2047	No
12	4095	No
13	8191	Sí
14	16383	No
15	32767	No

Així, els 5 primers primers de Mersenne són: 3, 7, 31, 127 i 8191.

ATENCIÓ!! Quan n no és primer M_n tampoc, però si n és primer no vol dir que M_n ho sigui. Això significa que el fet que n sigui primer és una condició necessària però no suficient per a que M_n sigui de Mersenne.

• Nombres perfectes

Els nombres perfectes són aquells enters que són iguals a la suma dels seus divisors propis. Els divisors propis d’un nombre són tots els divisors del nombre excepte ell mateix.

Per exemple, 6 és un nombre perfecte ja que els seus divisors propis són: 1,2 i 3 (el 6 no és propi) i es cumpleix que: 1+2+3 = 6.

Una manera de trobar nombres perfectes és a partir dels nombres primers de Mersenne, ja que els nombres perfectes equivalen a la meitat del producte entre un nombre primer de Mersenne i el seu enter consecutiu.

Primer de Mersenne	Consecutiu	Producte	Meitat del producte
3	4	12	6
7	8	56	28
31	32	992	496
127	128	16256	8128
255	256	65280	32640
511	512	261632	130816
1023	1024	1047552	523776

Comprovació:

• Divisors propis de 6: 1,2,3     Suma: 1+2+3=6
• Divisors propis de 28: 1,2,4,7,14    Suma: 1+2+4+7+14=28

Així, els 5 primers nombres perfectes són: 6, 28, 496, 8128 i 32640.

Doncs bé, la conjectura és la següent:

No existeixen nombres perfectes senars, tots són parells.

Voleu conèixer què són els nombres amics o els nombres sociables? Doncs mireu el següent video: