Conjectura dels nombres perfectes senars

Abans d’enunciar aquesta conjectura anem a veure alguns conceptes que ens ajudaran a entendre-la:

  • Nombres primers de Mersenne

Un nombre és primer de Mersenne si és un nombre primer de la forma Mn= 2n-1. Aquí us deixem alguns exemples:

n

Mn Mn és primer?

2

3

3

7

4

15 No
5 31

6

63

No

7

127

8

255 No
9 511

No

10

1023 No
11 2047

No

12 4095

No

13

8191
14 16383

No

15 32767

No

Així, els 5 primers primers de Mersenne són: 3, 7, 31, 127 i 8191.

ATENCIÓ!! Quan n no és primer Mn tampoc, però si n és primer no vol dir que Mn ho sigui. Això significa que el fet que n sigui primer és una condició necessària però no suficient per a que Mn sigui de Mersenne.

  • Nombres perfectes

Els nombres perfectes són aquells enters que són iguals a la suma dels seus divisors propis. Els divisors propis d’un nombre són tots els divisors del nombre excepte ell mateix.

Per exemple, 6 és un nombre perfecte ja que els seus divisors propis són: 1,2 i 3 (el 6 no és propi) i es cumpleix que: 1+2+3 = 6.

Una manera de trobar nombres perfectes és a partir dels nombres primers de Mersenne, ja que els nombres perfectes equivalen a la meitat del producte entre un nombre primer de Mersenne i el seu enter consecutiu.

Primer de Mersenne Consecutiu Producte Meitat del producte
3 4 12 6
7 8 56 28
31 32 992 496
127 128 16256 8128
255 256 65280 32640
511 512 261632 130816
1023 1024 1047552 523776
Comprovació:
  • Divisors propis de 6: 1,2,3     Suma: 1+2+3=6
  • Divisors propis de 28: 1,2,4,7,14    Suma: 1+2+4+7+14=28

Així, els 5 primers nombres perfectes són: 6, 28, 496, 8128 i 32640.

Doncs bé, la conjectura és la següent:

No existeixen nombres perfectes senars, tots són parells.

Voleu conèixer què són els nombres amics o els nombres sociables? Doncs mireu el següent video:

 

Anuncis

3 thoughts on “Conjectura dels nombres perfectes senars

  1. Com molt bé heu comentat, un nombre perfecte és aquell enter que és igual a la suma dels seus divisors propis. Doncs bé, aquells enters que la suma dels seus divisors propis és més gran que el propi nombre s’anomenen ABUNDANTS i els que aquesta suma és més petita que el propi nombre s’anomenen DEFICIENTS.
    En el següent enllaç: http://www.wikiprimes.com/pattern.htm
    podeu veure el model de corbes periòdiques sobreposades, que representen la quantitat de divisors dels nombres naturals i la sèrie dels nombres primers de la següent manera: des de l’origen de la recta numèrica es traça una corba periòdica per cada número natural. Cada corba ha d’intersecar cada número natural i els seus múltiples. Finalment es remarca amb un punt més gran els nombres que només són intersecats per dues corbes: aquests són els nombres primers.
    A més també s’indica quins nombres són perfectes, abundants i deficients.
    Sabeu trobar més propietats d’aquest model?

    Liked by 1 person

  2. Bon treball!
    Sabíeu que els nombres perfectes ja els va descriure Euclides ara fa prop de 2300 anys? En va citar en un llibre els 4 primers. Al llarg dels anys s’han anat trobant diferents nombres perfectes i amb l’arribada dels ordinadors s’han agilitzat les troballes, l’últim d’ells, trobat al 2013, és el 48è nombre perfecte amb més de 34.000.000 xifres, més xifres que segons hi ha en un any!!
    Sembla increïble que una teoria tant senzilla arribi a crear tant grans maldecaps, el més important: són infinits els nombres perfectes?

    Liked by 1 person

Deixa un comentari

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

Esteu comentant fent servir el compte WordPress.com. Log Out /  Canvia )

Google photo

Esteu comentant fent servir el compte Google. Log Out /  Canvia )

Twitter picture

Esteu comentant fent servir el compte Twitter. Log Out /  Canvia )

Facebook photo

Esteu comentant fent servir el compte Facebook. Log Out /  Canvia )

S'està connectant a %s