Abans d’enunciar aquesta conjectura anem a veure alguns conceptes que ens ajudaran a entendre-la:
-
Nombres primers de Mersenne
Un nombre és primer de Mersenne si és un nombre primer de la forma Mn= 2n-1. Aquí us deixem alguns exemples:
|
n |
Mn | Mn és primer? |
|
2 |
3 |
Sí |
|
3 |
7 | Sí |
|
4 |
15 | No |
| 5 | 31 |
Sí |
| 6 |
63 |
No |
|
7 |
127 | Sí |
|
8 |
255 | No |
| 9 | 511 |
No |
|
10 |
1023 | No |
| 11 | 2047 |
No |
| 12 | 4095 |
No |
|
13 |
8191 | Sí |
| 14 | 16383 |
No |
| 15 | 32767 |
No |
Així, els 5 primers primers de Mersenne són: 3, 7, 31, 127 i 8191.
ATENCIÓ!! Quan n no és primer Mn tampoc, però si n és primer no vol dir que Mn ho sigui. Això significa que el fet que n sigui primer és una condició necessària però no suficient per a que Mn sigui de Mersenne.
-
Nombres perfectes
Els nombres perfectes són aquells enters que són iguals a la suma dels seus divisors propis. Els divisors propis d’un nombre són tots els divisors del nombre excepte ell mateix.
Per exemple, 6 és un nombre perfecte ja que els seus divisors propis són: 1,2 i 3 (el 6 no és propi) i es cumpleix que: 1+2+3 = 6.
Una manera de trobar nombres perfectes és a partir dels nombres primers de Mersenne, ja que els nombres perfectes equivalen a la meitat del producte entre un nombre primer de Mersenne i el seu enter consecutiu.
| Primer de Mersenne | Consecutiu | Producte | Meitat del producte |
| 3 | 4 | 12 | 6 |
| 7 | 8 | 56 | 28 |
| 31 | 32 | 992 | 496 |
| 127 | 128 | 16256 | 8128 |
| 255 | 256 | 65280 | 32640 |
| 511 | 512 | 261632 | 130816 |
| 1023 | 1024 | 1047552 | 523776 |
Comprovació:
- Divisors propis de 6: 1,2,3 Suma: 1+2+3=6
- Divisors propis de 28: 1,2,4,7,14 Suma: 1+2+4+7+14=28
Així, els 5 primers nombres perfectes són: 6, 28, 496, 8128 i 32640.
Doncs bé, la conjectura és la següent:
No existeixen nombres perfectes senars, tots són parells.
Voleu conèixer què són els nombres amics o els nombres sociables? Doncs mireu el següent video:
AleshoresB 
Molt interessant!
En el següent enllaç: http://www.wikiprimes.com/primos-de-mersenne/
apareixen els noms dels descubridors i l’any dels primers 48 primers de Mersenne.
Si us hi fixeu, els últims 14 han estat descoberts gràcies a GIMPS, una platafòrma colaborativa online dedicada a la recerca de nombres primers de Mersenne. La seva direcció web és: http://www.mersenne.org/
M'agradaLiked by 1 person
Com molt bé heu comentat, un nombre perfecte és aquell enter que és igual a la suma dels seus divisors propis. Doncs bé, aquells enters que la suma dels seus divisors propis és més gran que el propi nombre s’anomenen ABUNDANTS i els que aquesta suma és més petita que el propi nombre s’anomenen DEFICIENTS.
En el següent enllaç: http://www.wikiprimes.com/pattern.htm
podeu veure el model de corbes periòdiques sobreposades, que representen la quantitat de divisors dels nombres naturals i la sèrie dels nombres primers de la següent manera: des de l’origen de la recta numèrica es traça una corba periòdica per cada número natural. Cada corba ha d’intersecar cada número natural i els seus múltiples. Finalment es remarca amb un punt més gran els nombres que només són intersecats per dues corbes: aquests són els nombres primers.
A més també s’indica quins nombres són perfectes, abundants i deficients.
Sabeu trobar més propietats d’aquest model?
M'agradaLiked by 1 person
Bon treball!
Sabíeu que els nombres perfectes ja els va descriure Euclides ara fa prop de 2300 anys? En va citar en un llibre els 4 primers. Al llarg dels anys s’han anat trobant diferents nombres perfectes i amb l’arribada dels ordinadors s’han agilitzat les troballes, l’últim d’ells, trobat al 2013, és el 48è nombre perfecte amb més de 34.000.000 xifres, més xifres que segons hi ha en un any!!
Sembla increïble que una teoria tant senzilla arribi a crear tant grans maldecaps, el més important: són infinits els nombres perfectes?
M'agradaLiked by 1 person