El Teorema de Poincaré

Us proposem el següent joc:

Sabríeu reconèixer quin d’aquests personatges és  considerat un dels més intel·ligent del món pel seu alt C.I (238) i per haver resolt un problema matemàtic que portava gairebé 100 anys sense resoldre’s?

Molt bé! De ben segur que ho heu encertat!

Aquest home de cabell despentinat, barba descuidada, ungles llargues, mirada perduda i amb roba vella ha revolucionat les matemàtiques, ha obert nous camps d’investigació, ha obtingut i refusat els premis més prestigiosos de matemàtiques, inclòs un milió de dòlars,  i ha resolt la famosa Conjectura de Poincaré.

Voleu saber una mica més d’aquesta història?

El Teorema de Poincaré és un dels set problemes del mil·lenni, proposats per l’institut Clay de Matemàtiques (sona bastant bé); de fet, és l’únic que s’ha resolt. Quan parlem dels “set problemes del mil·lenni” parlem dels que es consideren els problemes més importants de les matemàtiques, i els més difícils de resoldre. Aquests problemes són: P versus NP, La conjectura de Hodge, La hipòtesis de Riemann, l’existència i “mass gap” de la teoria de Yang-Mills, l’existència i “suavitat” de Navier-Stokes, la conjectura de Biirch i Swinnerton-Dyer, i la Conjectura de Poincaré”. Aquest últim és del que anirà l’entrada. Per cert, aquests problemes estan cadascun d’ells premiats amb un milió de dòlars per qui els resolgui.

TEOREMA DE POINCARÉ

Aquest teorema va ser enunciat l’any 1904 per Henry Poincaré i diu que:

“L’esfera tridimensional (3-esfera) és l’única varietat compacta en el que qualsevol llaç tancat es pot deformar en un punt”

Heus aquí el que volia dir Poincaré posant com exemple la 2-esfera ordinària:

La veritat és que és (molt) difícil d’entendre, però és normal, és un problema força complex de topologia.

El fet és que Henri Poincaré va plantejar el seu teorema el 1904 per l’esfera-3 (n=3). El segle XIX ja s’havia pogut demostrar pel cas n=2. A partir d’aquí molts dels millors matemàtics del món varen posar-se a buscar la demostració del Teorema de Poincaré. El 1961 es va demostrar per n=5. El mateix any, es va poder demostrar per n≥7. L’any següent es va poder demostrar per n=6… Només faltaven els casos n=3 i n=4. Doncs bé, n=4 es va poder demostrar l’any 1986. Només restava el cas n=3, el que havia plantejat Poincaré a la seva conjectura… Vàrem haver d’esperar fins l’any 2003 en que el matemàtic rus, Grigori Perelman, el demostrés.

Bé, parlem de la persona que ha solucionat aquest problema. Grigori Perelman. Nascut a Leningrad, l’actual Sant Petersburg, el 13 de juny de l’any 1966, fa 49 anys. És conegut mundialment per haver resolt un dels 7 problemes del mil·lenni, la conjectura de Poincaré. No només això si no que Grigori Perelman, va rebutjar el premi, l’increïble milió de dòlars, per haver resolt un dels problemes del mil·lenni, tot i les seves dificultats econòmiques. Va ser una sorpresa molt gran, però també hi havia qui s’ho podia esperar. L’any 1996,  va rebutjar el premi EMS, i el 2006, va rebutjar la prestigiosa medalla Fields, considerada el Nobel de les matemàtiques. Va ser llavors al 2010, quan Grigori Perelman va rebutjar el gran premi de l’Institut Clay de Matemàtiques.

El 2002 publicà a Internet un breu article de 39 pàgines on posava sobre la taula els fonaments de la demostració de la conjectura de Poincaré, que va completar, publicant dos articles més, per la mateixa via. El fet de publicar-ho a internet va propiciar que dos matemàtics xinesos s’atribuïssin la demostració del teorema i Grigori Perleman va quedar decepcionat davant la indiferència de la comunitat matemàtica a aquest fet. Una frase d’ell és:

“No puc dir que estic indignat. Altres persones fan coses pitjors. Per descomptat, hi ha molts matemàtics que són més o menys honestos. Però d’ells, gairebé tots són conformistes. Són més o menys honestos, però toleren als que no són honestos. No és la gent que trenca els estàndards ètics que es consideren estranys. És gent com jo que són aïllats.”

A partir d’aleshores s’aïlla socialment i  abandona per complet les matemàtiques. Actualment viu a un petit apartament de Sant Petersburg, gràcies a la pensió que cobra la seva mare, gairebé a la misèria.

Per Perelman, el premi ja l’ha aconseguit: provar que Poincaré no estava equivocat.

“No vull estar exposat com un animal en el zoològic. No sóc un heroi de les matemàtiques. Per això no vull que tothom m’estigui mirant.”

El teorema de Poincaré explica, d’alguna manera, la forma que té l’univers!

“Puc controlar l’univers, per què m’hauria de preocupar per un milió de dòlars?”

Què és la topologia?

La topologia, del grec topos, és la branca de les matemàtiques que estudia les propietats dels objectes que no es veuen alterades per deformacions, és a dir, per doblegar, estirar, encongir…sempre que es faci sense trencar ni separar el que estava unit, ni enganxar el que estava separat…

Per la topologia un donut i una tassa de cafè són el mateix!!

La cinta de Moebius (a l’esquerra) o l’ampolla de Klein ( a la dreta) són dues de les formes que estudia la topologia:

A continuació us deixem un vídeo que hem fet nosaltres on expliquem algunes propietats que té la cinta de Moebius. Esperem que us agradi!!