L’útim Teorema de Fermat

L’últim teorema de Fermat és i serà un dels problemes més importants de les matemàtiques. No el podem trobar dins d’un dels set problemes del mil·lenni perquè va ser resolt una mica abans del 2000, però va estar obert més de 350 anys.

El teorema diu: l’equació xn + yn = zn no té solucions enteres si n és igual o més gran que 3. Si n és igual a 2, trobem un teorema molt famós que segur que reconeixereu fàcilment… Sí, l’important i conegut teorema de Pitàgores.

Si t’hi fixes, x2 + y2 = z2 té infinites solucions enteres, tantes com triangles rectangles amb costats enters.

Per exemple:

  • x=3, y=4 i z=5 és solució ja que         32 + 42 = 52                9 + 16 = 25
  • x=5, y=12 i z=13 també ho és ja que  52 + 122 = 132           25 + 144 = 169

El Teorema de Pitàgores ens diu que és possible descomposar un quadrat (de costats enters) com a suma de dos quadrats (de costats enters).

En canvi…

l’equació   x3 + y3 = z3   no té solucions amb x,y,z nombres enters.

Provem per exemple   x=3, y=4 i z=5:         33 + 43 = 53            27 + 64 no és igual a 125

El Teorema de Fermat, en canvi, ens diu que no és possible descomposar un cub (de costats enters) com a suma de dos cubs (de costats enters), ni cap potència quarta com a suma de dues potències quartes…

teorema de fermat

I ara us deveu preguntar: “Quin pesat va inventar aquest teorema tan complicat i tant difícil de demostrar…?”

Pierre de Fermat (1601-1665) va ser un advocat i matemàtic occità, conegut principalment per les seves aportacions a la teoria de nombres, especialment pel teorema que porta el seu nom. Fermat no va publicar mai res: volia mantenir-se en el més absolut anonimat. Comunicava la major part de la seva obra matemàtica en cartes a amics, sovint sense o amb poques proves dels seus teoremes. El 1679, 24 anys després de la seva mort, el seu fill, Samuel, publicà Varia opera mathematica on es recull bona part de l’obra del seu pare.

Fermat sempre va considerar les matemàtiques com un entreteniment, un refugi de les contínues disputes amb les que havia de treballar com a jurista i advocat. Tenia tots els seus estudis en llibres i apunts. En el marge de la pàgina 85 del seu exemplar de l’Arithmetica de Diofant va escriure, sense demostració, la seva famosa conjectura:

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi, hanc marginis exiguitas non caperet. És impossible descomposar un cub en dos cubs, un biquadrat en dos biquadrats, i en general, una potència qualsevol, a part del quadrat, en dos potències del mateix exponent. He trobat una demostració realment admirable, però el marge del llibre és molt petit per posar-la.

Va ser tanta la repercusió d’aquest comentari que a l’edició del 1670 de l’obra de Diofant ja surt imprès l’observació de Fermat, el seu famós teorema.

Diophantus-II-8-Fermat

La demostració del problema va tardar més de 350 anys i va ser feta per Andrew Wiles; tot i així, molts matemàtics anteriors, com Fermat mateix, Euler, Sophie Germain i d’altres van contribuir posant el seu granet de sorra. El conjunt de totes aquelles petites demostracions van ajudar a Wiles a resoldre el complicat problema… Creieu, doncs, que Fermat tenia realment la demostració del teorema?

Andrew-Wiles-300x208Andrew Wiles va estar deu anys darrera el problema, compaginant la seva professió de professor d’universitat amb l’intent de demostrar el teorema, tot sense que ningú ho sabés. Al 1992, al final d’una conferència de matemàtiques que no estava relacionada amb el teorema de Fermat, Andrew Wiles va escriure a la pissarra: …i aquesta és la demostració de l’últim teorema de Fermat. Tothom es va quedar perplex. Al cap d’uns mesos van trobar un mínim error que va fer que la demostració no fos vàlida. Degut a això, Wiles amb l’ajuda d’un amic tornen a intentar demostrar el teorema. Creieu que ho aconseguiran? Doncs sí, aquest cop Wiles va poder demostrar finalment aquest teorema.

Molts dels estudis de Wiles per demostrar el teorema, van ajudar a resoldre altres petites conjectures.

A continuació us deixem un documental produït per la BBC en la sèrie Horizont, en el qual el propi Wiles ens detalla les diferents etapes que va passar per arribar a la demostració del teorema.

El Ultimo Teorema de Fermat from Moisés Toledo on Vimeo.

I també, us deixem el capítol 4 de la col·lecció Universo matemàtico, dedicat a Fermat i al seu famós teorema.

6 thoughts on “L’útim Teorema de Fermat”

  1. Molt bonic resum del darrer teorema de Fermat. Dues petites observacions pedants (ho sento 🙂 ): (1) En català, es diu “descompondre” i no “descomposar”. Podeu mirar-ho al Diec: http://dlc.iec.cat/ . (2) Quan es diu que x^n + y^n = z^n no té solucions enteres si n és més gran o igual que 3, es vol dir que no en té “no trivials”. Per exemple, x = 1, y = 0, z = 0 és una solució entera “trivial” sigui qui sigui n. El darrer teorema de Fermat diu que, llevat d’aquestes formades per uns i zeros, no hi ha d’altres solucions enteres.

    Liked by 1 person

    Respon

    • Gràcies Agustí per les observacions!
      Efectivament, tal i com va enunciar Fermat el teorema (en el sentit de descompondre), aquestes solucions trivials no tenen sentit, però en la notació moderna s’han d’excloure. Una petita correcció, la solució trivial que comentes seria x=1, y=0, z=1.

      M'agrada

      Respon

      • Jajaja! Em refereixo que per Fermat no tenia sentit, no pel fet que sigui fàcil, sinò que per ell no tenia significat, ja que per exemple per a l’equació x^3+y^3=z^3 la solució x=1, y=0,z=1 significaca que un cub d’aresta 1 es pot descompondre en un d’aresta 0 (poca cosa vaja…) i un d’aresta 1 (és a dir el cub mateix) i això és una solució una mica absurda. Però, en canvi, al escriure l’enUnciat amb una equació, aquestes solucions són vàlides i es tractava de demostrar que no en té d’altres.

        M'agrada

Deixa un comentari