El mètode inductiu: Sèries numèriques amb sumes i productes en funció d’n

Sabeu què significa aquesta expressió?:

Representa la suma dels primers “n” nombres senars: els punts suspensius signifiquen “fins a…” i (2n-1) és l’expressió generals de l’enèssim nombre senar.

Podem trobar alguna fòrmula que ens digui què val aquesta suma en funció d’n?

Anem a intentar-ho! La millor manera és anar veient què val aquesta suma provant per a casos particulars, n=1, n=2, n=3, n=4, n=5, per intentar, mitjançant la inducció, arribar al cas general n.

Veieu alguna relació entre el nombre de termes (n) i el resultat de la suma? Doncs sí! La suma dona el quadrat del nombre de termes!!

Llavors, és fàcil generalitzar que:

Una prova visual d’aquesta igualtat és:

L’enteneu? Veieu la relació?

Anem a practicar la generalització amb un altre exemple. Enlloc de Sn tenim Pn, que vol dir anar multiplicant els nombres fins a n, per a tot n major o igual a 2:

Substituïm n per a n=2, n=3, n=4, n=5 i n=6:

A partir d’això podem observar que:

I ara us toca a vosaltres! Proveu de generalitzar aquestes expressions:

 

Raonament inductiu: Distribucions numèriques amb una incògnita

Seguim buscant patrons o lleis ara mitjançant les distribucions numèriques en les que els nombres enlloc d’anar un darrera l’altra, formaran part d’un dibuix o d’un conjunt de figures geomètriques que es repeteixen, per tal que puguem deduir-ne la seva llei i trobar el nombre que falta.

Anem a veure uns exemples:

Exemple 1: Serieu capaços de trobar el valor de x en la següent distribució numèrica?

Nosaltres hem vist que sumant el número de la dreta més el de l’esquerra i restant el de dalt dona el del mig.

En la primera figura: 12+6-8=10

En la segona figura: 20+24-30 = 14

Per tant, en la tercera figura x = 15+16-20 = 11

 

Exemple 2: Quant valdrà la x?

Com podeu comprovar, aquesta distribució numèrica també està formada per tres formes numèriques iguals i una d’elles conté una incògnita. Quin patró segueixen?

Nosaltres hem trobat que si sumem els 3 números de la dreta i multipliquem el resultat pel número de l’esquerra dona el número que està a baix!

A la primera figura: (1+2+3)*2 = 12

A la segona figura: (2+3+1)*5 = 30

Per tant, a la tercera figura:

x = (3+2+1)*4 = 24

 

 

Després d’haver fet aquests exemples, ja va és hora de que en proveu de fer un vosaltres sols. Per això us plantegem dues distribucions numèriques per a que trobeu el valor de la incògnita.

Molta sort i ànims!

Exercici 1:

Exercici 2:

ç

 

 

 

Sortim per la TV local!

Aquest és el magnífic anunci que els nois i noies de la M.O de Els Arcs TV han fet sobre la nostra matèria i aquest blog!

Molt bona feina i us estem molt agraïts!!

 

RAONAMENT INDUCTIU: SÈRIES NUMÈRIQUES

Vegem ara, una altre forma d’aplicar el raonament inductiu: a les sèries numèriques.

Recordeu aquells passatemps que tracten de trobar els números que segueixen?

En aquesta entrada us proposem que poseu a prova el vostre raonament inductiu per intentar trobar els valors que segueixen a algunes sèries. Us atreviu?

Abans de res, us explicarem algunes que hem fet a classe per a que veieu com es fan:

Exemple 1:   1, 4 , 9 , 16 , 25 ,…

Fixeu-vos que entre 1 i 4 van tres. En canvi, entre 4 i 9 van 5, entre 9 i 16 van 7 i entre 16 i 25 van 9. Observant aquestes xifres (3, 5 , 7 i 9), és fàcil veure que són els nombres senars. Per tant, el següent nombre serà 25+11 = 36 i el següent 36 + 13 = 49, i així successivament…

Us heu fixat que aquests nombres són també nombres quadrats?

1=1² ,  4=2² , 9=3² , 16=4², 25=5²

 

Exemple 2:  1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 …

Aquesta sembla una mica més complicada i ens va portar una mica més de temps de treure-la, però tampoc és difícil observar que cada terme s’obté sumant els dos anteriors:

1+1 = 2, 1+2 =3, 2+3 = 5, 3+5=8, 5+8=13, 8+13=21, ….

Per tant, els següents termes seran: 89 (34+55) i  144 (55+89)0

Aquesta successió és tan especial que té nom propi. S’anomena successió de Fibonacci. Aquesta seqüència apareix en diversos patrons de la naturalesa i també té molta relació amb el nombre d’or o proporció Àurea. Però tot això ja ho veurem més endavant…

Exemple 3: 1 , 5 , 19 , 49 , 101 …

Què?! Aquesta ja és més complicada, no??

Quan en una sèrie no acabes de veure quin és el patró que segueix, a vegades un bon mètode per trobar-lo és fer les diferències successives. Aquest mètode consisteix en construir la successió que resulta de fer la resta entre els termes consecutius de la successió. A continuació, es torna a repetir aquest procés amb la nova successió fins que arribem a que aquestes restes són constants.

Fixeu-vos en aquesta animació que hem fet per a que entengueu aquest procés:

Sabíeu que també existeixen series gràfiques, amb dibuixos o figures. En la pròxima entrada veureu distribucions numèriques representades en figures. Veureu com també haureu d’utilitzar el raonament inducctiu.

Ara sí, us plantegem algunes sèries per a que les continueu vosaltres. A veure si sou capaços!

1) 8,13,23,38,58…

2) 7, 14, 16, 32, 34, ….

3) 3,14,31,54,83,118…

4) 5,15,37,77,141…

5) 1,4,11,22,37,56…

(Les respostes les publicarem pròximament als comentaris d’aquesta mateixa entrada)

EL RAONAMENT INDUCTIU

El raonament inductiu, inducció o mètode lògic inductiu és el procés de raonament pel qual s’arriba a una conclusió a partir de la generalització. Es parteix de l’observació d’una propietat per a casos particulars (premises), i aquest tipus de raonament ens permet generalitzar-la per a molts més casos arribant a la esmentada conclusió.

Veiem un exemple:

Premisses (casos particulars):

• He observat el corb número 1 i és de color negre.
• El corb número 2 també és negre.
• El corb número 3 també és negre.
  
• El corb número 4 també és negre
  

Conclusió (afirmació general):

• Aleshores, tots els corbs són negres.
  

En matemàtiques, aquest tipus de raonament ens permet elaborar conjectures.

Per exemple:

La suma de dos nombres parells és…

2+4= 6 -> Parell // 16+44= 60 -> Parell // 200+36 = 236 -> Parell

Veiem que tots els resultats particulars són parells, generalitzant podem dir que:

La suma de dos nombres parells és… parell.

Aquesta afirmació ens sembla que serà certa, però es veu que caldrà una demostració formal per a poder-ne estar convençuts…

A classe, hem fet uns exercicis en els quals hem pogut practicar el raonament inductiu. Aquí us posarem uns quants exemples resolts i alguns per resoldre.

Exemple 1: El producte de dos nombres senars és … ??

3×9=27 -> Senar // 25×3= 75 -> Senar //  33×11= 363 -> Senar

I com que tots són senars doncs…

El producte de dos nombres senars és… senar

Exemple 2: El quadrat d’un nombre parell és… ??

2² = 4 -> Parell // 4²= 16 -> Parell // 6²= 36 -> Parell

I com que tots són parells doncs…

El quadrat d’un nombre parell és… parell

Exemple 3: Si n és múltiple de 3 aleshores n² -n és múltiple de …. ??

n= 3  -> 3²– 3 = 6 // n = 6 -> 6² – 6 = 30 // n= 9 -> 9²  – 9 = 72

Observem que tots són múltiples de 3 i de 6 però com que tot múltiple de 6 també ho ha de ser de 3, per tant ser múltiple de 6 és més general, doncs…

Si n és múltiple de 3 aleshores n²-n és múltiple de…. 6

Exemple 4: Si n és un nombre enter qualsevol n²  + 3n + 4 és …. ??

n = 4 -> 16 + 12 + 4 = 32 // n = 7 -> 49 + 21 + 4 = 74 // n = 8 -> 64 + 24 + 4 = 92 

Observem que tots els nombres que hem obtingut són parells, per tant…

Si n és un nombre enter qualsevol n²  + 3n + 4 és …. parell

No sembla difícil, no?. Us atreviu a fer-ho vosaltres? 

Proveu-ho amb aquests exercicis, ja veureu que en sou capaços!

1. Si n² és senar, aleshores n és…
2. El producte de dos nombres senar és..
3. La suma d’un nombre parell i un senar és…
4. Si n és un nombre natural aleshores (2n-2)·(2n+1)·(2n+3) és múltiple de…
5. Si n és senar aleshores n3-n és múltiple de…
6. Si n és un nombre enter qualsevol n3+3n2+5n és múltiple de…
7. Si a un nombre (de més d’una xifra i que no sigui capicúa) li restem el nombre que resulta d’invertir les seves xifres el resultat és múltiple de….