EL RAONAMENT INDUCTIU

droopy-investigadorEl raonament inductiu, inducció o mètode lògic inductiu és el procés de raonament pel qual s’arriba a una conclusió a partir de la generalització. Es parteix de l’observació d’una propietat per a casos particulars (premises), i aquest tipus de raonament ens permet generalitzar-la per a molts més casos arribant a la esmentada conclusió.

Veiem un exemple:

Premisses (casos particulars):

  • He observat el corb número 1 i és de color negre.observació corb
  • El corb número 2 també és negre.
  • El corb número 3 també és negre.
  • El corb número 4 també és negre

Conclusió (afirmació general):

  • Aleshores, tots els corbs són negres.

En matemàtiques, aquest tipus de raonament ens permet elaborar conjectures.

Per exemple:

La suma de dos nombres parells és…

2+4= 6 -> Parell // 16+44= 60 -> Parell // 200+36 = 236 -> Parell

Veiem que tots els resultats particulars són parells, generalitzant podem dir que:

La suma de dos nombres parells és… parell.

Aquesta afirmació ens sembla que serà certa, però es veu que caldrà una demostració formal per a poder-ne estar convençuts…

A classe, hem fet uns exercicis en els quals hem pogut practicar el raonament inductiu. Aquí us posarem uns quants exemples resolts i alguns per resoldre.

Exemple 1: El producte de dos nombres senars és … ??

3×9=27 -> Senar // 25×3= 75 -> Senar //  33×11= 363 -> Senar

I com que tots són senars doncs…

El producte de dos nombres senars és… senar

Exemple 2: El quadrat d’un nombre parell és… ??

22 = 4 -> Parell // 42= 16 -> Parell // 62= 36 -> Parell

I com que tots són parells doncs…

El quadrat d’un nombre parell és… parell

Exemple 3: Si n és múltiple de 3 aleshores n2 -n és múltiple de …. ??

n= 3  -> 32– 3 = 6 // n = 6 -> 62 – 6 = 30 // n= 9 -> 92  – 9 = 72

Observem que tots són múltiples de 3 i de 6 però com que tot múltiple de 6 també ho ha de ser de 3, per tant ser múltiple de 6 és més general, doncs…

Si n és múltiple de 3 aleshores n2-n és múltiple de…. 6

Exemple 4: Si n és un nombre enter qualsevol n2  + 3n + 4 és …. ??

n = 4 -> 16 + 12 + 4 = 32 // n = 7 -> 49 + 21 + 4 = 74 // n = 8 -> 64 + 24 + 4 = 92 

Observem que tots els nombres que hem obtingut són parells, per tant…

Si n és un nombre enter qualsevol n2  + 3n + 4 és …. parell

No sembla difícil, no?. Us atreviu a fer-ho vosaltres? pyohpp352874

Proveu-ho amb aquests exercicis, ja veureu que en sou capaços!

  1. Si n2 és senar, aleshores n és…
  2. El producte de dos nombres senar és..
  3. La suma d’un nombre parell i un senar és…
  4. Si n és un nombre natural aleshores (2n-2)·(2n+1)·(2n+3) és múltiple de…
  5. Si n és senar aleshores n3-n és múltiple de…
  6. Si n és un nombre enter qualsevol n3+3n2+5n és múltiple de…
  7. Si a un nombre (de més d’una xifra i que no sigui capicúa) li restem el nombre que resulta d’invertir les seves xifres el resultat és múltiple de…. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 thoughts on “EL RAONAMENT INDUCTIU”

  1. Està molt ben explicat el que hem treballat! Em sembla una molt bona entrada, però jo, personalment, donaria les solucions dels exercicis que oferiu al final de l’entrada per poder verificar els resultats…

    Liked by 2 people

    Respon

  2. Com molt bé heu dit, el raonament inductiu ens permet arribar a unes conclusions de caràcter general, però no necessàriament certes…qui ens assegura que no hi hagi un altre cas particular (una n molt més gran, per exemple) que no la verifiqui? És, per tant, el raonament que ens permet arribar a fer conjectures.
    Caldrà una demostració formal per assegurar la seva validesa. Doncs bé, el raonament utilitzat en les demostracions és d’una altra tipologia i s’anomena raonament deductiu. Aquest tipus de raonament ens permet arribar a la conclusió incloent les premises com casos particulars d’altres afirmacions vàlides de caràcter general. És un raonament oposat a l’inductiu en el sentit que utilitza afirmacions generals per arribar a una conclusió particular, però no per això menys important.
    No em voldria extendre massa, però anem a veure una demostració de l’afirmació de l’exemple 3 per veure que utilitza aquest altre tipus de raonament, el deductiu:
    Observeu que n^2-n = n*(n-1), és a dir, és el producte de dos nombres enters consecutius. Aquest producte sempre és parell ja que o bé n és parell o bé (n-1) ho és. A més, un dels factors, n, és múltiple de 3 per hipòtesi, aleshores aquest producte també és múltiple de 3.
    Recopilant, n*(n-1) és múltiple de 2 (parell) i múltiple de 3, per tant, múltiple de 6.

    Veieu, hem inclòs les nostres premises en altres afirmacions de caràcter general. En aquest cas, hem utilitzat reiteradament que el producte d’un múltiple de “k” per un altre nombre és també múltiple de “k”…

    Apa, espero que després d’aquest parrafada us hagi quedat tot claríssim…jejejeje…;)

    Liked by 1 person

    Respon

  3. Un bon exemple de raonament inductiu erroni en forma d’acudit:

    El 9 és un nombre primer?

    Demostració del matemàtic: L’1 és primer, el 3 és primer, el 5 és primer, el 7 és primer: per tant, per inducció, el 9 és primer.

    Demostració del físic teòric: L’1 és primer, el 3 és primer, el 5 és primer, el 7 és primer, el 9… això és un error experimental.

    Demostració de l’enginyer: L’1 és primer, el 3 és primer, el 5 és primer, el 7 és primer, el 9 és primer, l’11 és primer, el 13 és primer…

    N’he trobat una versió (n’hi ha moltes) en aquest recull d’acudits sobre físics, matemàtics i enginyers: http://www.cs.northwestern.edu/~riesbeck/mathphyseng.html

    (Nota: per parlar de demostració per inducció, al matemàtic li falta demostrar que, si “ser nombre primer” és cert per a n, també ho és per a n+1.)

    M'agrada

    Respon

Deixa un comentari