Vegem ara, una altre forma d’aplicar el raonament inductiu: a les sèries numèriques.
Recordeu aquells passatemps que tracten de trobar els números que segueixen?
En aquesta entrada us proposem que poseu a prova el vostre raonament inductiu per intentar trobar els valors que segueixen a algunes sèries. Us atreviu?
Abans de res, us explicarem algunes que hem fet a classe per a que veieu com es fan:
Exemple 1: 1, 4 , 9 , 16 , 25 ,…
Fixeu-vos que entre 1 i 4 van tres. En canvi, entre 4 i 9 van 5, entre 9 i 16 van 7 i entre 16 i 25 van 9. Observant aquestes xifres (3, 5 , 7 i 9), és fàcil veure que són els nombres senars. Per tant, el següent nombre serà 25+11 = 36 i el següent 36 + 13 = 49, i així successivament…
Us heu fixat que aquests nombres són també nombres quadrats?
1=12 , 4=22 , 9=32 , 16=42, 25=52
Exemple 2: 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 …
Aquesta sembla una mica més complicada i ens va portar una mica més de temps de treure-la, però tampoc és difícil observar que cada terme s’obté sumant els dos anteriors:
1+1 = 2, 1+2 =3, 2+3 = 5, 3+5=8, 5+8=13, 8+13=21, ….
Per tant, els següents termes seran: 89 (34+55) i 144 (55+89)0
Aquesta successió és tan especial que té nom propi. S’anomena successió de Fibonacci. Aquesta seqüència apareix en diversos patrons de la naturalesa i també té molta relació amb el nombre d’or o proporció Àurea. Però tot això ja ho veurem més endavant…
Exemple 3: 1 , 5 , 19 , 49 , 101 …
Què?! Aquesta ja és més complicada, no??
Quan en una sèrie no acabes de veure quin és el patró que segueix, a vegades un bon mètode per trobar-lo és fer les diferències successives. Aquest mètode consisteix en construir la successió que resulta de fer la resta entre els termes consecutius de la successió. A continuació, es torna a repetir aquest procés amb la nova successió fins que arribem a que aquestes restes són constants.
Fixeu-vos en aquesta animació que hem fet per a que entengueu aquest procés:
Sabíeu que també existeixen series gràfiques, amb dibuixos o figures. En la pròxima entrada veureu distribucions numèriques representades en figures. Veureu com també haureu d’utilitzar el raonament inducctiu.
Ara sí, us plantegem algunes sèries per a que les continueu vosaltres. A veure si sou capaços!
1) 8,13,23,38,58…
2) 7, 14, 16, 32, 34, ….
3) 3,14,31,54,83,118…
4) 5,15,37,77,141…
5) 1,4,11,22,37,56…
(Les respostes les publicarem pròximament als comentaris d’aquesta mateixa entrada)
AleshoresB 
Està molt be nois!
M'agradaM'agrada
La sèrie de Fibonacci i el nombre Àuri són realment interessants però crec que no hi podrem dedicar temps a classe perquè sino ens quedarem a mitges amb les demostracions…Doneu-li un cop d’ull a aquest video fet per Cristóbal Vila, és espectacular!
M'agradaM'agrada
Fantàstics l’entrada i el vídeo!
M'agradaLiked by 1 person
Aquest home té altres videos que són també espectaculars.
Mireu el video del següent enllaç titulat Inspirations, on l’autor imagina com deuria ser l’escriptori del dibujant M.C Escher.
http://etereaestudios.com/docs_html/inspirations_htm/movie_a.htm
Segur que hi reconeixeu algunes obres i objectes que hi apareixen!
Sino,a l’apartat ARTS i MATHS explica tots els elements que van sortint al vídeo, val la pena donar-hi un cop d’ull per donar-li més significat!
M'agradaM'agrada
I només com a curiositat…hi ha sèries que venen generades per un polinomi, per exemple si prenem el polinomi p(x)=x^2-x+3, la sèrie vindria donada pels valors numèrics del polinomi per als valors naturals x=1, x=2, x=3…Com que: p(1)=3, p(2)=5, p(3)=9, p(4)=15, p(5)=23, …la sèrie seria: 3,5,9,15,23,….
Doncs l’any 1795 un matemàtic anomenat Joseph-Louise Lagrange va demostrar que donada qualsevol sèrie finita de punts existeix un polinomi que pren (en els valors de x=1, x=2, x=3 …) els valors d’aquesta sèrie.
Aquests polinomis, anomenats polinomis interpoladors no són difícils de calcular i s’utilitzen en nombrosos camps de la ciència, per exemple, en astronomia, per conèixer la posició dels cossos celests a partir d’observacions periòdiques, i en enginyeria, per aproximar funcions complexes.
Podeu llegir l’interessant article de la Clara Grima que ha publicat a CienciaExplora: http://www.cienciaxplora.com/divulgacion/series-que-terminan-como-quieras-numericas-claro_2016021000096.html
M'agradaM'agrada
Molt ben explicat. Amb les imatges que heu posat queda tot mes clar
M'agradaLiked by 1 person
Ostres Albert! El vídeo és impressionant, m’ha agradat molt la part dels gira-sol!
M'agradaLiked by 1 person
Doncs quan tinguis una mica de temps llegeix alguna cosa sobre la proporció àurea i la successió de Fibonacci.
En el següent enllaç hi torbaràs un interessant article de Joan Gómez i Urgellés, professor de la UPC, Matemàtic i Pedagog:
http://www.raco.cat/index.php/ButlletiBalaguer/article/viewFile/269717/357262
M'agradaM'agrada
Si tens menys temps, sempre pots veure aquest fantàstic video, on explica algunes propietats de la successió de Fibonacci i la relació que té amb el nombre d’or:
M'agradaM'agrada
Fantàstica l’explicació i molt ben escollits els videos!
Arribat el final de trimestre ja us puc felicitar a tots, en general, per aquesta feina tan ben feta i a l’Albert, en particular, per saber apropar-vos a aquest món tan fascinant que són les matemàtiques. Espero que us hagi resultat útil i que ho hagueu trobat interessant!
M'agradaM'agrada
Gràcies David, com bé dius s’ha acabat el trimestre i per tant aquesta matèria però que sapigueu que el blog no s’atura! Així que no deixeu de seguir-nos i donar-nos el vostre suport, que encara tenim algunes coses a explicar-vos!
M'agradaM'agrada