El mètode inductiu: Sèries numèriques amb sumes i productes en funció d’n

Sabeu què significa aquesta expressió?:

Representa la suma dels primers “n” nombres senars: els punts suspensius signifiquen “fins a…” i (2n-1) és l’expressió generals de l’enèssim nombre senar.

Podem trobar alguna fòrmula que ens digui què val aquesta suma en funció d’n?

Anem a intentar-ho! La millor manera és anar veient què val aquesta suma provant per a casos particulars, n=1, n=2, n=3, n=4, n=5, per intentar, mitjançant la inducció, arribar al cas general n.

Veieu alguna relació entre el nombre de termes (n) i el resultat de la suma? Doncs sí! La suma dona el quadrat del nombre de termes!!

Llavors, és fàcil generalitzar que:

Una prova visual d’aquesta igualtat és:

L’enteneu? Veieu la relació?

Anem a practicar la generalització amb un altre exemple. Enlloc de Sn tenim Pn, que vol dir anar multiplicant els nombres fins a n, per a tot n major o igual a 2:

Substituïm n per a n=2, n=3, n=4, n=5 i n=6:

A partir d’això podem observar que:

I ara us toca a vosaltres! Proveu de generalitzar aquestes expressions: