Resolem un problema més simple i busquem pautes, regularitats

A l’entrada anterior hem vist que estudiar els casos particulars ens permetia arribar a la solució d’un cas més general. En aquesta entrada seguirem amb la mateixa idea: per resoldre un problema que pot resultar complicat per la seva mida o per contenir masses elements, resoldrem un problema similar el més senzill possible i l’anirem complicant fins arribar al problema proposat inicialment.

Us proposarem uns problemes que no són d’aquells que penseu que són “un pal”, que us recorden a la vostra infància; ben al contrari, són problemes per trencar-s’hi el coco, que quan no et surten et fan tanta ràbia que fins que no el soluciones no vas a dormir. Aquí us en deixem uns quants amb la seva resolució. Us recomanem que intenteu fer-los abans de donar-vos per vençuts i mirar la solució. Ànims i que el raonament inductiu us marqui el camí!

Us agraden els polígons? Doncs aquí un problema sobre quadrats…

PROBLEMA 1: Si us diguessin que el tauler d’escacs conté 204 quadrets us ho creuríeu…? Cert o fals? Comprova-ho!

Primerament, buscarem casos similars però més senzills. D’aquesta manera ens serà més fàcil resoldre el problema. Hem recollit l’estudi dels casos en aquesta taula:

taula

Com que un tauler d’escacs té dimensions 8×8, haurem de calcular la suma:

1

No és difícil calcular aquesta suma, però utilitzarem la fòrmula que vam deduïr unes classes abans:2

Substituïnt la n per 8, obtenim que:

3

Per tant, és cert que hi ha 204 quadrets!

L’heu aconseguit resoldre sense mirar la solució? Si és així, enhorabona!

I a continuació, un altre sobre polígons…

PROBLEMA 2: Quantes diagonals té un polígon convex de 85 costats? 

Primerament, buscarem casos similars però més senzills. D’aquesta manera ens serà més fàcil resoldre el problema. Utilitzem la taula següent:

final2

La sèrie del nombre de diagonals és: 0,2,5,9,14… El primer que observem és que:

4

És a dir, en afegir el 4t costat s’afegeixen 2 diagonals; en afegir el 5è costat s’afegeixen 3 diagonals; en afegir el 6è costat s’afegeixen 4 diagonals; en afegir el 7è costat s’afegeixen 5 diagonals…

Generalitzant, sembla que en afegir el 85è costat afegirem 83 diagonals, per tant, hem de calcular la suma:5

Per calcular aquesta suma utilitzarem la fòrmula que vam comprovar a classe:

6

Substituïnt n per 83, obtenim:

7

Per tant, 8

Mentre fèiem aquest exercici ens vam adonar que cada vèrtex s’unia amb tots els altres vèrtexs excepte 3: ell mateix i els dos dels costats. Però d’aquesta manera cada diagonal la comptariem dos cops, per tant vam deduïr que:

Si n és el nombre de costats del polígon:

9

Per tant, per al polígon de 85 costats tenim que:

10

I conicidia amb el resultat que haviem obtingut!

I a continuació us proposem un parell d’exercicis més:

PROBLEMA 3Aquesta piràmide de nombres continua sota el mar. La suma total dels números del primer nivell és de 29791. Quants nivells de nombres té aquesta piràmide?

piramide

PROBLEMA 4: Es plega una tira de paper, llarga i prima, 10 vegades successives per la meitat. En desplegar-la, quants doblecs es veurà?

 

Anuncis

Raonament inductiu: problemes

Bé, l’entrada d’avui també tractarà el raonament inductiu, però aquet cop aplicat a problemes geomètrics. Resoldrem aquests problemes amb l’ajuda del programa GeoGebra, ja que permet representar molts casos particulars simplement movent el cursor i així podem arribar fàcilment a generalitzar i trobar la solució.

En tots 2 problemes hi apareixen triangles, però els problemes són ben diferents:

Pista: Són problemes força difícils, tot i que semblen molt evidents de resoldre, ATENCIÓ!

Problema 1: La parcel·la electrificada

Una parcel·la amb forma de triangle equilàter està limitada per una tanca elèctrica. Cada costat de la parcel·la ha d’estar connectat al generador elèctric, que ha d’estar dins  la parcel·la. On ha de posar el propietari el generador per utilitzar la menor quantitat necessària de cable per connectar el generador amb la tanca?

parcela.PNG

Què creieu…? L’haurem de col·locar a l’ortocentre? Al baricentre? Al circumcentre?

Hem preparat un vídeo per a poder explicar visualment la resolució d’aquest problema, esperem que us agradi!

 

Problema 2: El camí més curt

Determina el camí més curt que uneix els 3 costats d’un triangle (tornant al punt de partida)

cami

Serà el camí que passa pels punts mitjos dels costats? O el que forma un triangle equilàter…?

Proveu de trobar-lo amb el full de Geogebra que us hem preparat al següent enllaç:

https://www.geogebra.org/apps/?id=xAVEJG7Z

Voleu saber la solució?

El camí més curt és el que passa pels punts per on les altures tallen les seves bases corresponents!!

Com que sabem que és difícil de creure, hem preparat un petit vídeo!

 

Mètode inductiu: igualtats.

En aquesta entrada seguirem practicant el raonament inductiu i la generalització: a partir d’unes igualtats per a uns casos particulars, passarem a la igualtat per al cas general. Doncs comencem:

Vegem un exemple: Observeu que aquestes igualtats es compleix, doncs seguint el mateix patró podem arribar a generalitzar-la:

exemple_1

El primer pas que realitzem és comprovar uns quants casos en particular. Tot seguit fem la generalització. Com veiem, a la part dreta de la igualtat ,hi ha la suma d’unes fraccions on el numerador sempre és 1 i el denominador és una potència de 2. Per tant quan generalitzem escrivim 2 a la n.

Seguim amb una altre exemple amb molta història i aparentment una mica més complex:

exemple_2

Aquesta generalització que pot semblar difícil d’entendre, la va fer el príncep de les matemàtiques amb 7 anys, Friedrich Gauss. L’anècdota explica que la professora li va fer sumar tots els nombres de l’1 al 100 per entretenir-lo durant una estona; aquest va trigar uns 3 minuts en resoldre aquest problema!! Gauss es va adonar que la suma del primer i l’últim donava el mateix que la del segon i el penúltim i així successivament. Aleshores era suficient sumar el primer amb l’últim i multiplicar-lo per la meitat del número de termes.

Intenteu a casa sumar tots els nombres de l’1 al 100 i afegiu un comentari del temps que heu trigat. Endavant, el templs ja ha começat!

Tot seguit farem tres problemes, amb un video per cadascun on s’expliquen aquestes igualtats de forma geomètrica:

a)exemple_3

b) exemple_4
c)exemple_5

Bé, esperem que hageu entès tots els exemples. Aquí us deixem uns exercicis que podeu resoldre vosaltres sols a casa. Per realitzar-los, us recomanem que primer feu el següent cas particular i tot seguit intenteu generalitzar. Que vagi bé!!