Mètode inductiu: igualtats.

En aquesta entrada seguirem practicant el raonament inductiu i la generalització: a partir d’unes igualtats per a uns casos particulars, passarem a la igualtat per al cas general. Doncs comencem:

Vegem un exemple: Observeu que aquestes igualtats es compleix, doncs seguint el mateix patró podem arribar a generalitzar-la:

El primer pas que realitzem és comprovar uns quants casos en particular. Tot seguit fem la generalització. Com veiem, a la part dreta de la igualtat ,hi ha la suma d’unes fraccions on el numerador sempre és 1 i el denominador és una potència de 2. Per tant quan generalitzem escrivim 2 a la n.

Seguim amb una altre exemple amb molta història i aparentment una mica més complex:

Aquesta generalització que pot semblar difícil d’entendre, la va fer el príncep de les matemàtiques amb 7 anys, Friedrich Gauss. L’anècdota explica que la professora li va fer sumar tots els nombres de l’1 al 100 per entretenir-lo durant una estona; aquest va trigar uns 3 minuts en resoldre aquest problema!! Gauss es va adonar que la suma del primer i l’últim donava el mateix que la del segon i el penúltim i així successivament. Aleshores era suficient sumar el primer amb l’últim i multiplicar-lo per la meitat del número de termes.

Intenteu a casa sumar tots els nombres de l’1 al 100 i afegiu un comentari del temps que heu trigat. Endavant, el templs ja ha começat!

Tot seguit farem tres problemes, amb un video per cadascun on s’expliquen aquestes igualtats de forma geomètrica:

a)

b)
c)

Bé, esperem que hageu entès tots els exemples. Aquí us deixem uns exercicis que podeu resoldre vosaltres sols a casa. Per realitzar-los, us recomanem que primer feu el següent cas particular i tot seguit intenteu generalitzar. Que vagi bé!!