RAONAMENT INDUCTIU: SÈRIES NUMÈRIQUES

Vegem ara, una altre forma d’aplicar el raonament inductiu: a les sèries numèriques.

Recordeu aquells passatemps que tracten de trobar els números que segueixen?

En aquesta entrada us proposem que poseu a prova el vostre raonament inductiu per intentar trobar els valors que segueixen a algunes sèries. Us atreviu?

Abans de res, us explicarem algunes que hem fet a classe per a que veieu com es fan:

Exemple 1:   1, 4 , 9 , 16 , 25 ,…

Fixeu-vos que entre 1 i 4 van tres. En canvi, entre 4 i 9 van 5, entre 9 i 16 van 7 i entre 16 i 25 van 9. Observant aquestes xifres (3, 5 , 7 i 9), és fàcil veure que són els nombres senars. Per tant, el següent nombre serà 25+11 = 36 i el següent 36 + 13 = 49, i així successivament…

Us heu fixat que aquests nombres són també nombres quadrats?

1=1² ,  4=2² , 9=3² , 16=4², 25=5²

 

Exemple 2:  1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 …

Aquesta sembla una mica més complicada i ens va portar una mica més de temps de treure-la, però tampoc és difícil observar que cada terme s’obté sumant els dos anteriors:

1+1 = 2, 1+2 =3, 2+3 = 5, 3+5=8, 5+8=13, 8+13=21, ….

Per tant, els següents termes seran: 89 (34+55) i  144 (55+89)0

Aquesta successió és tan especial que té nom propi. S’anomena successió de Fibonacci. Aquesta seqüència apareix en diversos patrons de la naturalesa i també té molta relació amb el nombre d’or o proporció Àurea. Però tot això ja ho veurem més endavant…

Exemple 3: 1 , 5 , 19 , 49 , 101 …

Què?! Aquesta ja és més complicada, no??

Quan en una sèrie no acabes de veure quin és el patró que segueix, a vegades un bon mètode per trobar-lo és fer les diferències successives. Aquest mètode consisteix en construir la successió que resulta de fer la resta entre els termes consecutius de la successió. A continuació, es torna a repetir aquest procés amb la nova successió fins que arribem a que aquestes restes són constants.

Fixeu-vos en aquesta animació que hem fet per a que entengueu aquest procés:

Sabíeu que també existeixen series gràfiques, amb dibuixos o figures. En la pròxima entrada veureu distribucions numèriques representades en figures. Veureu com també haureu d’utilitzar el raonament inducctiu.

Ara sí, us plantegem algunes sèries per a que les continueu vosaltres. A veure si sou capaços!

1) 8,13,23,38,58…

2) 7, 14, 16, 32, 34, ….

3) 3,14,31,54,83,118…

4) 5,15,37,77,141…

5) 1,4,11,22,37,56…

(Les respostes les publicarem pròximament als comentaris d’aquesta mateixa entrada)

Conjectura dels nombres primers bessons

La conjectura dels nombres primers bessons postula l’existència d’infinits primers bessons.

Dos nombres primers es denominen bessons si la diferència entre els dos nombres és 2. Així doncs, el 3 i el 5 són una parella de nombres primers bessons. Altres exemples són l’11 i el 13, el 29 i el 31 o el 107 i el 109. A mesura que el nombre primer és més gran la freqüencia de nombres primers disminueix, però tot i així sempre apareixen nombres primers bessons.

La parella de bessons més gran trobada fins al moment (any 2005) és 33218925 · 2¹⁶⁹⁶⁹⁰ ± 1.

---

Primeres 35 parelles de primers bessons:

(3,  5),    (5,  7),    (11, 13),   (17, 19),   (29, 31),   (41, 43),   (59, 61),   (71,  73),  (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193),  (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349),  (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619),  (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883)

Observant aquest garbell d’Eratòstenes de 30 col·lumnes es poden descobrir facilment els tres tipus de parelles dels nombres bessons:

1. Primera columna de parelles (H-J): els nombres acaben en 7 i 9.
2. Segona columna de parelles (T-1):  els nombres acaben en 9 i 1.
3. Tercera columna de parelles (B-D): els nombres acaben en 1 i 3.

I això no és tot, què passa si multipliquem i sumem una parella de nombres primers bessons? Veiem-ho:

PARELLA DE NOMBRES	SUMA	PRODUCTE
3-5	8	15
5-7	12	35
11-13	24	143
17-19	36	323
29-31	60	899

Sou capaços de trobar una relació entre el producte i la suma?

Diguem que n és en número parell que hi ha entre la parella de nombres primers bessons. (En els cas de 3-5,  n=4)

Un cop em realitzat aquest procès podem anunciar que :

• -la suma és el doble de n. (En el cas de 3-5, 2n=8).
• -el producte és el quadrat de n menys 1. (En el cas de 3-5,  n²-1=15)
  

  ---

Però, no creieu que anem molt ràpid? Vejem, per començar,  què és un nombre primer.

Un nombre primer és un nombre enter superior a 1 que  admet exactament dos divisors : el propi nombre i 1.

Si us hi fixeu, tots els nombres naturals són divisibles entre ells mateixos i entre la unitat. Però els que no són primers, a més, també són divisibles entre altres nombres.

Exemple:

Número 11. L’il·lustració demostra que l’11 no té cap altre divisor exacte i en canvi el 12 sí.

 

Hi ha nombrosos algorismes per trobar nombres primers. El més senzill seria provar de dividir cada nombre per tots els nombres senars majors a 1 i menors o iguals a la seva arrel quadrada, però és molt poc eficient perquè requereix moltes divisions innecessàries; per exemple, un cop provat el dos, no cal provar tots els nombres parells, que sabem que seran divisibles per dos. Una extensió d’aquesta idea és el taulell d’Eratòstenes.

Aquest és un enllaç on podreu saber si qualsevol nombre que busqueu és primer: “http://es.calcuworld.com/calculadoras-matematicas/calculadora-de-numeros-primos/?iframe=1”

Euclides, ja al segle III a.C, va demostrar que hi ha infinits nombres primers. A més se sap que no hi ha límit per a la distància entre dos primers consecutius, és a dir, la diferència entre dos primers consecutius pot ser tant gran com es vulgui…

El nombres primers són molt importants ja que segons el teorema fonamental de l’aritmètica  qualsevol nombre enter positiu superior a 1 pot representar-se sempre com un producte de nombres primers, i aquesta representació  és única. Per tant, els nombres primers es poden considerar com els àtoms de les matemàtiques.

En canvi, encara hi ha numeroses conjectures i misteris al voltant dels nombres primers. La més important és la Hipòtesi de Riemman, una conjectura sobre la distribució dels nombres primers i que té l’honor de ser un dels 7 problemes del mil·leni.

Hi ha diversos tipus de nombres primers: els nombres primers de Fermat, els nombres primers de Mersenne, els nombres primers de Sophie Germain… però tot això ja ho veurem en una altra entrada.

Si voleu saber més sobre els nombres primers aquí us deixem l’enllaç a l’enciclopèdia online dels nombres primers: http://www.wikiprimes.com/es

I aquí teniu un parell de videos molt interesants: