Raonament inductiu: Distribucions numèriques amb una incògnita

Seguim buscant patrons o lleis ara mitjançant les distribucions numèriques en les que els nombres enlloc d’anar un darrera l’altra, formaran part d’un dibuix o d’un conjunt de figures geomètriques que es repeteixen, per tal que puguem deduir-ne la seva llei i trobar el nombre que falta.

Anem a veure uns exemples:

Exemple 1: Serieu capaços de trobar el valor de x en la següent distribució numèrica?

d1.PNG

Nosaltres hem vist que sumant el número de la dreta més el de l’esquerra i restant el de dalt dona el del mig.F4-resultat

En la primera figura: 12+6-8=10

En la segona figura: 20+24-30 = 14

Per tant, en la tercera figura x = 15+16-20 = 11

 

Exemple 2: Quant valdrà la x?

d2

Com podeu comprovar, aquesta distribució numèrica també està formada per tres formes numèriques iguals i una d’elles conté una incògnita. Quin patró segueixen?F8

Nosaltres hem trobat que si sumem els 3 números de la dreta i multipliquem el resultat pel número de l’esquerra dona el número que està a baix!

A la primera figura: (1+2+3)*2 = 12

A la segona figura: (2+3+1)*5 = 30F7-resultat

Per tant, a la tercera figura:

x = (3+2+1)*4 = 24

 

 

Després d’haver fet aquests exemples, ja va és hora de que en proveu de fer un vosaltres sols. Per això us plantegem dues distribucions numèriques per a que trobeu el valor de la incògnita.

Molta sort i ànims!

Exercici 1:

e1.PNG

Exercici 2:

e2

ç

 

 

 

Anuncis

Conjectura dels nombres perfectes senars

Abans d’enunciar aquesta conjectura anem a veure alguns conceptes que ens ajudaran a entendre-la:

  • Nombres primers de Mersenne

Un nombre és primer de Mersenne si és un nombre primer de la forma Mn= 2n-1. Aquí us deixem alguns exemples:

n

Mn Mn és primer?

2

3

3

7

4

15 No
5 31

6

63

No

7

127

8

255 No
9 511

No

10

1023 No
11 2047

No

12 4095

No

13

8191
14 16383

No

15 32767

No

Així, els 5 primers primers de Mersenne són: 3, 7, 31, 127 i 8191.

ATENCIÓ!! Quan n no és primer Mn tampoc, però si n és primer no vol dir que Mn ho sigui. Això significa que el fet que n sigui primer és una condició necessària però no suficient per a que Mn sigui de Mersenne.

  • Nombres perfectes

Els nombres perfectes són aquells enters que són iguals a la suma dels seus divisors propis. Els divisors propis d’un nombre són tots els divisors del nombre excepte ell mateix.

Per exemple, 6 és un nombre perfecte ja que els seus divisors propis són: 1,2 i 3 (el 6 no és propi) i es cumpleix que: 1+2+3 = 6.

Una manera de trobar nombres perfectes és a partir dels nombres primers de Mersenne, ja que els nombres perfectes equivalen a la meitat del producte entre un nombre primer de Mersenne i el seu enter consecutiu.

Primer de Mersenne Consecutiu Producte Meitat del producte
3 4 12 6
7 8 56 28
31 32 992 496
127 128 16256 8128
255 256 65280 32640
511 512 261632 130816
1023 1024 1047552 523776
Comprovació:
  • Divisors propis de 6: 1,2,3     Suma: 1+2+3=6
  • Divisors propis de 28: 1,2,4,7,14    Suma: 1+2+4+7+14=28

Així, els 5 primers nombres perfectes són: 6, 28, 496, 8128 i 32640.

Doncs bé, la conjectura és la següent:

No existeixen nombres perfectes senars, tots són parells.

Voleu conèixer què són els nombres amics o els nombres sociables? Doncs mireu el següent video: