Abans d’enunciar aquesta conjectura anem a veure alguns conceptes que ens ajudaran a entendre-la:
Nombres primers de Mersenne
Un nombre és primer de Mersenne si és un nombre primer de la forma Mn= 2n-1. Aquí us deixem alguns exemples:
n
Mn
Mn és primer?
2
3
Sí
3
7
Sí
4
15
No
5
31
Sí
6
63
No
7
127
Sí
8
255
No
9
511
No
10
1023
No
11
2047
No
12
4095
No
13
8191
Sí
14
16383
No
15
32767
No
Així, els 5 primers primers de Mersenne són: 3, 7, 31, 127 i 8191.
ATENCIÓ!! Quan n no és primer Mn tampoc, però si n és primer no vol dir que Mn ho sigui. Això significa que el fet que n sigui primer és una condició necessària però no suficient per a que Mn sigui de Mersenne.
Nombres perfectes
Els nombres perfectes són aquells enters que són iguals a la suma dels seus divisors propis. Els divisors propis d’un nombre són tots els divisors del nombre excepte ell mateix.
Per exemple, 6 és un nombre perfecte ja que els seus divisors propis són: 1,2 i 3 (el 6 no és propi) i es cumpleix que: 1+2+3 = 6.
Una manera de trobar nombres perfectes és a partir dels nombres primers de Mersenne, ja que els nombres perfectes equivalen a la meitat del producte entre un nombre primer de Mersenne i el seu enter consecutiu.
Primer de Mersenne
Consecutiu
Producte
Meitat del producte
3
4
12
6
7
8
56
28
31
32
992
496
127
128
16256
8128
255
256
65280
32640
511
512
261632
130816
1023
1024
1047552
523776
Comprovació:
Divisors propis de 6: 1,2,3 Suma: 1+2+3=6
Divisors propis de 28: 1,2,4,7,14 Suma: 1+2+4+7+14=28
Així, els 5 primers nombres perfectes són: 6, 28, 496, 8128 i 32640.
Doncs bé, la conjectura és la següent:
No existeixen nombres perfectes senars, tots són parells.
Voleu conèixer què són els nombres amics o els nombres sociables? Doncs mireu el següent video:
La conjectura dels nombres primers bessons postula l’existència d’infinits primers bessons.
Dos nombres primers es denominen bessons si la diferència entre els dos nombres és 2. Així doncs, el 3 i el 5 són una parella de nombres primers bessons. Altres exemples són l’11 i el 13, el 29 i el 31 o el 107 i el 109. A mesura que el nombre primer és més gran la freqüencia de nombres primers disminueix, però tot i així sempre apareixen nombres primers bessons.
La parella de bessons més gran trobada fins al moment (any 2005) és 33218925 · 2169690 ± 1.
Observant aquest garbell d’Eratòstenes de 30 col·lumnes es poden descobrir facilment els tres tipus de parelles dels nombres bessons:
Primera columna de parelles (H-J): els nombres acaben en 7 i 9.
Segona columna de parelles (T-1): els nombres acaben en 9 i 1.
Tercera columna de parelles (B-D): els nombres acaben en 1 i 3.
I això no és tot, què passa si multipliquem i sumem una parella de nombres primers bessons? Veiem-ho:
PARELLA DE NOMBRES
SUMA
PRODUCTE
3-5
8
15
5-7
12
35
11-13
24
143
17-19
36
323
29-31
60
899
Sou capaços de trobar una relació entre el producte i la suma?
Diguem que n és en número parell que hi ha entre la parella de nombres primers bessons. (En els cas de 3-5, n=4)
Un cop em realitzat aquest procès podem anunciar que :
-la suma és el doble de n. (En el cas de 3-5, 2n=8).
-el producte és el quadrat de n menys 1. (En el cas de 3-5, n²-1=15)
Però, no creieu que anem molt ràpid? Vejem, per començar, què és un nombre primer.
Un nombre primer és un nombre enter superior a 1 que admet exactament dos divisors : el propi nombre i 1.
Si us hi fixeu, tots els nombres naturals són divisibles entre ells mateixos i entre la unitat. Però els que no són primers, a més, també són divisibles entre altres nombres.
Exemple:
Número 11. L’il·lustració demostra que l’11 no té cap altre divisor exacte i en canvi el 12 sí.
Hi ha nombrosos algorismes per trobar nombres primers. El més senzill seria provar de dividir cada nombre per tots els nombres senars majors a 1 i menors o iguals a la seva arrel quadrada, però és molt poc eficient perquè requereix moltes divisions innecessàries; per exemple, un cop provat el dos, no cal provar tots els nombres parells, que sabem que seran divisibles per dos. Una extensió d’aquesta idea és el taulell d’Eratòstenes.
Euclides, ja al segle III a.C, va demostrar que hi ha infinits nombres primers. A més se sap que no hi ha límit per a la distància entre dos primers consecutius, és a dir, la diferència entre dos primers consecutius pot ser tant gran com es vulgui…
El nombres primers són molt importants ja que segons el teorema fonamental de l’aritmètica qualsevol nombre enter positiu superior a 1 pot representar-se sempre com un producte de nombres primers, i aquesta representació és única. Per tant, els nombres primers es poden considerar com els àtoms de les matemàtiques.
En canvi, encara hi ha numeroses conjectures i misteris al voltant dels nombres primers. La més important és la Hipòtesi de Riemman, una conjectura sobre la distribució dels nombres primers i que té l’honor de ser un dels 7 problemes del mil·leni.
Hi ha diversos tipus de nombres primers: els nombres primers de Fermat, els nombres primers de Mersenne, els nombres primers de Sophie Germain… però tot això ja ho veurem en una altra entrada.
Si voleu saber més sobre els nombres primers aquí us deixem l’enllaç a l’enciclopèdia online dels nombres primers: http://www.wikiprimes.com/es
I aquí teniu un parell de videos molt interesants:
La conjectura forta de Goldbach (1742) diu que tot nombre parell major que 2 es pot expressar com a suma de dos nombres primers (tingueu en compte que l’1 no es considera primer). És un enunciat senzill que, com passa en moltes altres ocasions, ens duu a estudis molt complicats.
Alguns exemples de la conjectura són aquests:
6=3+3 24=17+7 78=31+47 354=127+227 …
Aquesta afirmació va ser enunciada en una carta que va escriure Christian Goldbach al gran matemàtic de l’època Leonard Euler.
La interessant pel·lícula “La habitación de Fermat” comença amb l’enunciat d’aquesta conjectura.
En aquesta web podem obtenir la representació d’un número parell com suma de dos números primers, simplement introduïnt el mateix.
I en aquest enllaç podem veure un video que parla de la història de la Conjectura de Goldbach.
Com diu en en vídeo, la conectura dèbil de Goldbach (“tot nombre senar major a cinc es pot escriure com la suma de 3 nombres primers“) es va demostrar l’any 2013 per Herald Andrés, un matemàtic peruà.
La Conjectura de Collatz és una conjectura matemàtica així denominada perquè la va proposar per primer cop el matemàtic alemany Lothar Collatz l’any 1937. La conjectura ha rebut altres noms com conjectura 3n + 1.
Lothar Collatz: Lothar Collatz (6 de juliol, 1910, Arnsberg, Westphalia – 26 setembre 1990, Varna, Bulgària) va ser un matemàtic alemany.
L’enunciat diu que des de qualsevol nombre natural es pot arribar a la unitat amb aquest procés:
Si el número és parell; aquest es divideix entre 2.
Si el número és senar: aquest es multiplica per 3 i es suma 1 al resultat.
El raonament deductiu és aquell que partint d’unes condicions i seguint unes pautes lògiques1 permet arribar a una conclusió. És un raonament que va del general al particular.
Perquè la conclusió d’un raonament deductiu sigui certa, les premisses (condicions) de les quals parteixen han de ser vertaderes.
Un axioma és una afirmació que no s’ha de demostrar ja que és evident i vertadera.
En l’obra Els elements d’Euclides, apareixen els cinc axiomes/postulats de la geometria Euclidiana:
Donats dos punts qualsevol només es pot traçar una recta que els uneixi.
Qualsevol segment pot prolongar-se de forma contínua en qualsevol sentit.
Es pot traçar una circumferència amb centre qualsevol punt i de qualsevol radi.
Tots els angles rectes són iguals.
Per un punt exterior en una recta, es pot traçar una única paral·lela a la recta.
A partir d’aquests axiomes es contrueix tota la geometria plana.
Al S.XVIII, es comença a comprovar la validesa del 5è axioma partint de la premisa de que sigui fals. A partir de la negació d’aquest, sorgeixen dues noves geometries:
GEOMETRIA HIPERBÒLICA:
Gauss, Lobachevsky i Bolyai
Van substituir el cinquè postulat pel següent axioma: “Per un punt exterior a una recta es poden traçar més d’una paral·lela a la recta donada”.
En aquesta geometria, la suma dels angles d’un triangle sumen menys de 180 graus.
GEOMETRIA ESFÈRICA:
Riemman
Va substituir el cinquè postulat pel següent axioma: “Per un punt exterior a una recta no passen rectes que no la tallin, és a dir, no existeixen rectes paral·leles.
En aquesta geometria, la suma dels angles d’un triangle sumen més de 180 graus.
Gràcies a aquestes dues geometries, Albert Einstein va poder elaborar, ara fa 100 anys, la Teoria de la Relativitat General, la qual diu que l’espai i el temps estan relacionats.
El raonament inductiu és aquell que partint de casos particulars permet formular afirmacions de caràcter general. Aquest tipus de raonament és utilitzat per realitzar hipòtesi o conjectures.
Una conjectura és una afirmació per a les quals hi ha bones intuïcions de que és vertadera però encara no ha estat demostrada, no té un raonament.
Un teorema és una afirmació que està demostrada i té una importància rellevant, en resum, és una conjectura demostrada.
1Regles d’indiferència creades pel filòsof Aristòtil al S.IV aC.
A continuació, us deixem un video que explica algunes conjectures (problemes encara oberts) i alguns dels teoremes més famosos de les matemàtiques pel temps que van tardar en demostrar-se. Aquestes conjectures i teoremes els estudiarem al llarg d’aquesta matèria.
