Resolem un problema més simple i busquem pautes, regularitats

A l’entrada anterior hem vist que estudiar els casos particulars ens permetia arribar a la solució d’un cas més general. En aquesta entrada seguirem amb la mateixa idea: per resoldre un problema que pot resultar complicat per la seva mida o per contenir masses elements, resoldrem un problema similar el més senzill possible i l’anirem complicant fins arribar al problema proposat inicialment.

Us proposarem uns problemes que no són d’aquells que penseu que són “un pal”, que us recorden a la vostra infància; ben al contrari, són problemes per trencar-s’hi el coco, que quan no et surten et fan tanta ràbia que fins que no el soluciones no vas a dormir. Aquí us en deixem uns quants amb la seva resolució. Us recomanem que intenteu fer-los abans de donar-vos per vençuts i mirar la solució. Ànims i que el raonament inductiu us marqui el camí!

Us agraden els polígons? Doncs aquí un problema sobre quadrats…

PROBLEMA 1: Si us diguessin que el tauler d’escacs conté 204 quadrets us ho creuríeu…? Cert o fals? Comprova-ho!

Primerament, buscarem casos similars però més senzills. D’aquesta manera ens serà més fàcil resoldre el problema. Hem recollit l’estudi dels casos en aquesta taula:

taula

Com que un tauler d’escacs té dimensions 8×8, haurem de calcular la suma:

1

No és difícil calcular aquesta suma, però utilitzarem la fòrmula que vam deduïr unes classes abans:2

Substituïnt la n per 8, obtenim que:

3

Per tant, és cert que hi ha 204 quadrets!

L’heu aconseguit resoldre sense mirar la solució? Si és així, enhorabona!

I a continuació, un altre sobre polígons…

PROBLEMA 2: Quantes diagonals té un polígon convex de 85 costats? 

Primerament, buscarem casos similars però més senzills. D’aquesta manera ens serà més fàcil resoldre el problema. Utilitzem la taula següent:

final2

La sèrie del nombre de diagonals és: 0,2,5,9,14… El primer que observem és que:

4

És a dir, en afegir el 4t costat s’afegeixen 2 diagonals; en afegir el 5è costat s’afegeixen 3 diagonals; en afegir el 6è costat s’afegeixen 4 diagonals; en afegir el 7è costat s’afegeixen 5 diagonals…

Generalitzant, sembla que en afegir el 85è costat afegirem 83 diagonals, per tant, hem de calcular la suma:5

Per calcular aquesta suma utilitzarem la fòrmula que vam comprovar a classe:

6

Substituïnt n per 83, obtenim:

7

Per tant, 8

Mentre fèiem aquest exercici ens vam adonar que cada vèrtex s’unia amb tots els altres vèrtexs excepte 3: ell mateix i els dos dels costats. Però d’aquesta manera cada diagonal la comptariem dos cops, per tant vam deduïr que:

Si n és el nombre de costats del polígon:

9

Per tant, per al polígon de 85 costats tenim que:

10

I conicidia amb el resultat que haviem obtingut!

I a continuació us proposem un parell d’exercicis més:

PROBLEMA 3Aquesta piràmide de nombres continua sota el mar. La suma total dels números del primer nivell és de 29791. Quants nivells de nombres té aquesta piràmide?

piramide

PROBLEMA 4: Es plega una tira de paper, llarga i prima, 10 vegades successives per la meitat. En desplegar-la, quants doblecs es veurà?

 

Anuncis

Raonament inductiu: problemes

Bé, l’entrada d’avui també tractarà el raonament inductiu, però aquet cop aplicat a problemes geomètrics. Resoldrem aquests problemes amb l’ajuda del programa GeoGebra, ja que permet representar molts casos particulars simplement movent el cursor i així podem arribar fàcilment a generalitzar i trobar la solució.

En tots 2 problemes hi apareixen triangles, però els problemes són ben diferents:

Pista: Són problemes força difícils, tot i que semblen molt evidents de resoldre, ATENCIÓ!

Problema 1: La parcel·la electrificada

Una parcel·la amb forma de triangle equilàter està limitada per una tanca elèctrica. Cada costat de la parcel·la ha d’estar connectat al generador elèctric, que ha d’estar dins  la parcel·la. On ha de posar el propietari el generador per utilitzar la menor quantitat necessària de cable per connectar el generador amb la tanca?

parcela.PNG

Què creieu…? L’haurem de col·locar a l’ortocentre? Al baricentre? Al circumcentre?

Hem preparat un vídeo per a poder explicar visualment la resolució d’aquest problema, esperem que us agradi!

 

Problema 2: El camí més curt

Determina el camí més curt que uneix els 3 costats d’un triangle (tornant al punt de partida)

cami

Serà el camí que passa pels punts mitjos dels costats? O el que forma un triangle equilàter…?

Proveu de trobar-lo amb el full de Geogebra que us hem preparat al següent enllaç:

https://www.geogebra.org/apps/?id=xAVEJG7Z

Voleu saber la solució?

El camí més curt és el que passa pels punts per on les altures tallen les seves bases corresponents!!

Com que sabem que és difícil de creure, hem preparat un petit vídeo!

 

El mètode inductiu: Sèries numèriques amb sumes i productes en funció d’n

Sabeu què significa aquesta expressió?:

1

Representa la suma dels primers “n” nombres senars: els punts suspensius signifiquen “fins a…” i (2n-1) és l’expressió generals de l’enèssim nombre senar.

Podem trobar alguna fòrmula que ens digui què val aquesta suma en funció d’n?

Anem a intentar-ho! La millor manera és anar veient què val aquesta suma provant per a casos particulars, n=1, n=2, n=3, n=4, n=5, per intentar, mitjançant la inducció, arribar al cas general n.

2

Veieu alguna relació entre el nombre de termes (n) i el resultat de la suma? Doncs sí! La suma dona el quadrat del nombre de termes!!

3

Llavors, és fàcil generalitzar que:

4

Una prova visual d’aquesta igualtat és:

5

L’enteneu? Veieu la relació?

Anem a practicar la generalització amb un altre exemple. Enlloc de Sn tenim Pn, que vol dir anar multiplicant els nombres fins a n, per a tot n major o igual a 2:

6

Substituïm n per a n=2, n=3, n=4, n=5 i n=6:

7

A partir d’això podem observar que:

8

I ara us toca a vosaltres! Proveu de generalitzar aquestes expressions:

9

10

 

Raonament inductiu: Distribucions numèriques amb una incògnita

Seguim buscant patrons o lleis ara mitjançant les distribucions numèriques en les que els nombres enlloc d’anar un darrera l’altra, formaran part d’un dibuix o d’un conjunt de figures geomètriques que es repeteixen, per tal que puguem deduir-ne la seva llei i trobar el nombre que falta.

Anem a veure uns exemples:

Exemple 1: Serieu capaços de trobar el valor de x en la següent distribució numèrica?

d1.PNG

Nosaltres hem vist que sumant el número de la dreta més el de l’esquerra i restant el de dalt dona el del mig.F4-resultat

En la primera figura: 12+6-8=10

En la segona figura: 20+24-30 = 14

Per tant, en la tercera figura x = 15+16-20 = 11

 

Exemple 2: Quant valdrà la x?

d2

Com podeu comprovar, aquesta distribució numèrica també està formada per tres formes numèriques iguals i una d’elles conté una incògnita. Quin patró segueixen?F8

Nosaltres hem trobat que si sumem els 3 números de la dreta i multipliquem el resultat pel número de l’esquerra dona el número que està a baix!

A la primera figura: (1+2+3)*2 = 12

A la segona figura: (2+3+1)*5 = 30F7-resultat

Per tant, a la tercera figura:

x = (3+2+1)*4 = 24

 

 

Després d’haver fet aquests exemples, ja va és hora de que en proveu de fer un vosaltres sols. Per això us plantegem dues distribucions numèriques per a que trobeu el valor de la incògnita.

Molta sort i ànims!

Exercici 1:

e1.PNG

Exercici 2:

e2

ç

 

 

 

RAONAMENT INDUCTIU: SÈRIES NUMÈRIQUES

Vegem ara, una altre forma d’aplicar el raonament inductiu: a les sèries numèriques.

Recordeu aquells passatemps que tracten de trobar els números que segueixen?

series_orugues

En aquesta entrada us proposem que poseu a prova el vostre raonament inductiu per intentar trobar els valors que segueixen a algunes sèries. Us atreviu?

Abans de res, us explicarem algunes que hem fet a classe per a que veieu com es fan:

Exemple 1:   1, 4 , 9 , 16 , 25 ,…

Fixeu-vos que entre 1 i 4 van tres. En canvi, entre 4 i 9 van 5, entre 9 i 16 van 7 i entre 16 i 25 van 9. Observant aquestes xifres (3, 5 , 7 i 9), és fàcil veure que són els nombres senars. Per tant, el següent nombre serà 25+11 = 36 i el següent 36 + 13 = 49, i així successivament…

nombres quadratsUs heu fixat que aquests nombres són també nombres quadrats?

1=12 ,  4=22 , 9=32 , 16=42, 25=52

 

Exemple 2:  1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 …

Aquesta sembla una mica més complicada i ens va portar una mica més de temps de treure-la, però tampoc és difícil observar que cada terme s’obté sumant els dos anteriors:

1+1 = 2, 1+2 =3, 2+3 = 5, 3+5=8, 5+8=13, 8+13=21, ….

Per tant, els següents termes seran: 89 (34+55) i  144 (55+89)0

Aquesta successió és tan especial que té nom propi. S’anomena successió de Fibonacci. Aquesta seqüència apareix en diversos patrons de la naturalesa i també té molta relació amb el nombre d’or o proporció Àurea. Però tot això ja ho veurem més endavant…

fibonacc_2iimagen_variedad_proporcion_aurea

Exemple 3: 1 , 5 , 19 , 49 , 101 …

Què?! Aquesta ja és més complicada, no??

Quan en una sèrie no acabes de veure quin és el patró que segueix, a vegades un bon mètode per trobar-lo és fer les diferències successives. Aquest mètode consisteix en construir la successió que resulta de fer la resta entre els termes consecutius de la successió. A continuació, es torna a repetir aquest procés amb la nova successió fins que arribem a que aquestes restes són constants.

Fixeu-vos en aquesta animació que hem fet per a que entengueu aquest procés:

diferencies

Sabíeu que també existeixen series gràfiques, amb dibuixos o figures. En la pròxima entrada veureu distribucions numèriques representades en figures. Veureu com també haureu d’utilitzar el raonament inducctiu.

Ara sí, us plantegem algunes sèries per a que les continueu vosaltres. A veure si sou capaços!

1) 8,13,23,38,58…

2) 7, 14, 16, 32, 34, ….

3) 3,14,31,54,83,118…

4) 5,15,37,77,141…

5) 1,4,11,22,37,56…

(Les respostes les publicarem pròximament als comentaris d’aquesta mateixa entrada)