Introducció

Què és la matemàtica?

Davant la dificultat de respondre què és la matemàtica, sembla un bon punt de partida fixar-nos amb el que fan els matemàtics per a intentar definir aquesta ciència.

De vegades, s’intenta encasellar els matemàtics en dos grans grups: els matemàtics purs i els matemàtics aplicats. Els matemàtics purs serien aquells que només es preocupen de l’estudi i el desenvolupament dels conceptes matemàtics per si mateixos; en canvi, els matemàtics aplicats serien els que s’enfronten amb les realitats de la naturalesa que admeten alguna manera de tractament matemàtic, amb la intenció d’entendre, explorar i aprofitar tals realitats mitjançant el coneixement que es pugui desprendre del tractament matemàtic al que més o menys s’ajusta a aquesta realitat.

Fixant-nos en la història i el present de la matemàtica, el que està clar és que el desenvolupament d’aquesta ciència ha estat possible gràcies a la interacció entre aquests dos tipus d’activitats: l’interès per explorar i controlar la realitat física, química, biològica, social que ens envolta porta a extreure’n un model matemàtic que se n’ajusti .Aquest model es desenvolupa amb les eines i tècniques matemàtiques existents i en moltes ocasions, els matemàtics purs, empesos pel desig de desenvolupar i conèixer millor aquestes tècniques van més lluny del que el simple domini de la realitat inicial exigiria. Aquest coneixement assolit del model, en part pot no ser útil de moment, però queda emmagatzemat i potser algun dia serà utilitzat.

El procés que acabem de descriure s’ha produït en moltíssimes ocasions al llarg de la història.

Posem alguns exemples:

• Kepler amb les òrbites dels planetes i el estudi de la el·lipse per part d’Apoloni.
• Esfera de Poincaré (1904) i i la forma de l’univers (teoria de Jean-Pierre Luminet 2004)
• Petit teorema de Fermat, sobre nombres primers, (1636) i la criptografia amb clau pública.

A partir de la INTUÏCIÓ i del Raonament INDUCTIU, els matemàtics poden detectar certs patrons i arribar a formular una CONJECTURA; però fins que aquesta afirmació no és DEMOSTRADA a través de la lògica i del raonament DEDUCTIU no s’establirà com a veritat matemàtica, és a dir, com a TEOREMA.

A diferència de les altres ciències, quan una afirmació és demostrada matemàticament, aquest teorema esdevé cert pels segles dels segles (és possible que amb el temps hi hagi matemàtics que elaborin una demostració més elegant del mateix teorema, però en cap cas es posa en dubte la veracitat de l’afirmació). En canvi, en les altres ciències, com la biologia o la física, les teories vigents ho són pel fet que no contradiuen cap experiment i s’ajusten a la realitat, però sempre estan subjectes a la possibilitat que una altra teoria les generalitzi o fins i tot contradigui.

És per aquesta raó, que les matemàtiques reben el nom de ciències exactes, però en cap cas perquè només hi hagi una manera de resoldre els problemes, ni perquè siguin rígides, ni molt menys perquè ja sigui una ciència tancada on no hi hagi res més a descobrir…

Quines aplicacions actuals té la matemàtica?

Entre moltes altres aplicacions de la matemàtica vull destacar les següents:

• El desenvolupament de la teoria de la probabilitat i la seva aplicació als fenòmens aleatoris han aconseguit crear una matemàtica que en certa manera prova de dominar i manejar amb encert la incertesa mateixa. Un enorme nombre de ciències i tècniques s’han beneficiat d’aquesta il·luminació i domini de la incertesa que l’estadística proporciona. Entre elles la biologia, la medicina, les tècniques i ciències econòmiques, la investigació sobre la producció industrial i sobre mercats, la psicologia, la sociologia, l’antropologia, la lingüística… Una d’elles és la teoria de jocs de von Neumann i Morgenstern (1944), que  van aplicar amb cert èxit a la conducta econòmica. S’hi comença per analitzar matemàticament jocs d’estratègia, és a dir, jocs en els quals no només intervé l’atzar, sinó també decisions controlades pels participants. No es tracta, doncs, del clàssic anàlisi d’un joc d’atzar, com la ruleta o els daus, sinó de jocs semblants en la seva estructura al “mus” o al “poker”, en què intervenen decisions molt més personals basades en certes informacions com la història i psicologia dels altres contrincants, etc. Fàcilment es comprèn que aquests jocs constitueixen una simplificació de situacions reals de tipus econòmic, social, polític, estratègic, i d’aquí l’interès que aquesta anàlisi pot tenir.
• La teoria de grafs és una altra eina de valor universal en moltes de les ciències i tècniques actuals. Per exemple, el «problema del viatjant» consisteix en el següent: un viatjant de comerç d’una firma de Barcelona té per tasca oferir els seus productes a 25 ciutats diferents d’Espanya. Els desplaçaments d’una ciutat a cadascuna de les altres li ocasionen certes despeses que li són ben conegudes. Es tracta d’obtenir l’itinerari adequat que redueixi al mínim la despesa total en desplaçaments, sortint de Barcelona i tornant allà mateix. Quan les ciutats són poques, es pot pensar en un còmput exhaustiu de tots els possibles itineraris i, aprofitant la potència actual de les calculadores, es pot pensar en fer-ho per a un nombre respectable de ciutats. Però quan aquest nombre s’eleva, per exemple a 50, fins i tot els ordinadors actuals més potents són insuficients.
• La teoria de control òptim: Un sistema físic, biològic, econòmic… que sol presentar sovint una evolució regida per un conjunt de paràmetres que, fins a cert punt, estan a la nostra disposició: els controls del procés. Es desitja portar el sistema des d’una situació inicial a una situació terminal. Ho podem fer en general de moltes formes diferents manipulant de manera diversa els nostres controls. Unes d’aquestes formes de funcionament ens ocasionen una «despesa» més gran que altres. Es tracta d’esbrinar com s’han de manipular els controls perquè la «despesa» produïda sigui mínima.

A continuació us penjo un divertit monòleg d’Eduardo Sáenz de Cabezón relacionat amb tot això, i amb el qual va guanyar la primera edició del Famelab a Espanya l’any 2013.