El Teorema de Poincaré

Us proposem el següent joc:

Sabríeu reconèixer quin d’aquests personatges és  considerat un dels més intel·ligent del món pel seu alt C.I (238) i per haver resolt un problema matemàtic que portava gairebé 100 anys sense resoldre’s?

Molt bé! De ben segur que ho heu encertat!

Aquest home de cabell despentinat, barba descuidada, ungles llargues, mirada perduda i amb roba vella ha revolucionat les matemàtiques, ha obert nous camps d’investigació, ha obtingut i refusat els premis més prestigiosos de matemàtiques, inclòs un milió de dòlars,  i ha resolt la famosa Conjectura de Poincaré.

Voleu saber una mica més d’aquesta història?

El Teorema de Poincaré és un dels set problemes del mil·lenni, proposats per l’institut Clay de Matemàtiques (sona bastant bé); de fet, és l’únic que s’ha resolt. Quan parlem dels “set problemes del mil·lenni” parlem dels que es consideren els problemes més importants de les matemàtiques, i els més difícils de resoldre. Aquests problemes són: P versus NP, La conjectura de Hodge, La hipòtesis de Riemann, l’existència i “mass gap” de la teoria de Yang-Mills, l’existència i “suavitat” de Navier-Stokes, la conjectura de Biirch i Swinnerton-Dyer, i la Conjectura de Poincaré”. Aquest últim és del que anirà l’entrada. Per cert, aquests problemes estan cadascun d’ells premiats amb un milió de dòlars per qui els resolgui.

Continua llegint

Anuncis

Teoria de Grafs

Us anem a proposar un problema:

Podries creuar tots els pont començant per qualsevol però sense creuar un mateix pont dos cops?pontsAquest curiós problema va donar lloc a la Teoria de Grafs ja que per a la seva resolució, Leonhard Euler, va crear un graf substituint les illes i riberes per punts i els ponts per arestes. I així, va aconseguir demostrar que no era possible recorrer els set pont sense haver de repetir-ne algun.

ponts2  fletxa   ponts simplificat   fletxa graf pons

El problema va sorgir l’any 1736, perquè a una ciutat anomenada Königsberg, situada a Rússia però que abans era d’Alemanya, es volia fer una desfilada, i els habitants de la ciutat es van plantejar si podien creuar els 7 ponts sense repetir-ne cap. Van demanar ajuda a Euler i ell va resoldre el problema.

Euler es va adonar que el problema es resolia en funció del grau dels nodes o vèrtexs (és a dir, del número d’arestes que hi arriben): Va provar que el circuit que es desitjava era possible si hi ha exactament dos nodes o ningun de grau senar. Si no n’hi ha cap (tots els vèrtexs parells) és possible començar en qualsevol node i acabar en el mateix, en canvi, si n’hi ha dos de senars cal començar en un d’ells i acabar en l’altre.

En el cas dels ponts de Königsberg hi ha 3 nodes de grau 3 i un de grau 5, per tant, tots quatre són senars i per això no es pot recorrer.

Ara intenta recorre aquests grafs passant per totes les arestes sense repetir-ne cap. Sabries fer el mateix sortint d’un punt i tornant al mateix?

graf1            graf2      graf3

Ja ho heu provat?

Haureu comprovat que el primer graf es pot recórrer partint de qualsevol vèrtex i tornant al mateix. Això és degut a que tots els seus vèrtexs són parells (tots tenen grau 4). Un graf així s’anomena Eulerià.

El segon graf es pot recórrer només si començem en el vèrtexs G o H i l’acabem sempre en l’altre. Això és degut a que aquests són els seus únics dos vèrtexs senars (G té grau 3 i H té grau 1). Un graf així s’anomena Semieulerià.

El tercer graf no es pot recórrer sense repetir alguna aresta. Això és degut a que té més de 2 vèrtexs senars (A, B, C i D tenen grau 3). Un graf així s’anomena No-Eulerià.

Si no n’heu tingut prou, proveu de passar pels 17 ponts que uneixen entre sí les parts del territori de Leningrad, sense recórrer ningun d’ells dues vegades:

Leningrat

L’any 1931, un enginyer elèctric i matemàtic que es deia Harry Beck va crear el recorregut de les línies de metro de Londres a través d’un disseny topogràfic i no geogràfic com els anteriors i aplicant la teoria de Grafs. Fins avui dia la idea topogràfica de Beck es la més utilitzada en el mon per aquests tipus de plànols.

mapa Londres

Us deixem una pàgina web molt interesant sobre grafs on podeu practicar tot això:

https://dl.dropboxusercontent.com/u/44162055/manipulables/topologia/topologia_trazos.html

El següent enllaç és un editor de grafs:

http://illuminations.nctm.org/Activity.aspx?id=3550

Teorema dels quatre colors

Quants colors creieu que fan falta per tal d’acolorir un mapa sense que dues regions limítrofes (que estan l’una al costat de l’altre) tinguin el mateix color sense considerar les que es tallen en un sol punt? Dos? Vuit? Cinc?

El teorema dels quatre colors diu que qualsevol mapa dibuixat sobre un pla o sobre una esfera es pot acolorir amb quatre colors distints de manera que dues regions adjacents no siguin del mateix color, com per exemple en aquest mapa

Francis Guthrie

El teorema va ser plantejat per primer cop l’any 1852 per Francis Guthrie a la seva germana després d’acolorir un mapa de Gran Bretanya. El problema es va plantejar de la següent manera: “Són suficients quatre colors per acolorir qualsevol mapa imaginable de manera que cap país amb límits comuns tingui el mateix color?”. I així una simple pregunta per divertir a una germana, es va convertí en un problema matemàtic que va estar obert més de 100 anys.

 

El teorema va ser demostrat l’any 1976 per Kenneth Appel i Wolfgang Hanken. Va ser una demostració que va crear una gran polèmica degut a que va ser assistida per un ordinador i per tant era impossible de comprovar a mà per un humà. Aquesta demostració es basava en demostrar que hi ha un conjunt particular de 1.936 mapes, cadascun dels quals no pot formar part d’un contraexemple de mida més petita pel teorema dels quatre colors i aquests mapes van ser comprovats per un ordinador. Anys més tard, el 1997, va ser demostrat d’una manera més senzilla per Neil Robertson, Daniel P. Sanders, Paul Seymour i Robin Thomas. El 2005, Benjamin Werner i Georges Gonthier van formalitzar una demostració del teorema dins de l’assistent de proves Coq. La resolució d’aquest teorema està molt lligada amb la Teoria de Grafs, ja que va definir termes i conceptes fonamentals per a l’estudi dels grafs (els grafs són col·leccions d’objectes, anomenats vèrtex connectats per línies anomenades arestes.

Kenneth Appel (sentat) i Wolfgang Hanken (dret)

Martin Gadner deia haver trobat un contra-exemple de la teoria dels quatre colors, però era fals. Aquí us deixem el mapa que va fer perquè el pugueu veure i provar de resoldre’l només usant quatre colors: http://www.xtec.cat/~jjareno/problemes/geometrics/4_colors_e.htm

Però… com podem estar segurs de que estem acolorint un mapa amb el mínim de colors necessaris? Doncs utilitzant l’algoritme d’acolorit.

Primer hem de saber que tot mapa, en el pla o en l’esfera pot ser representat mitjançant graf i si cap aresta es talla amb una altra el graf s’anomena planar. Així doncs, començarem l’algoritme fent el graf planar corresponent al mapa que volem acolorir. Cada regió serà un vèrtex i posarem una aresta entre els vèrtexs que representin regions contigües.

Tot seguit, ordenarem els vèrtexs en ordre decreixent segons el grau (nombre d’arestes que té un vèrtex).

Foto teorema dels 4 colors 3

Assignarem colors a cada vèrtex de la següent manera:

  1. Assignarem el primer color al primer vèrtex.
  2. Al segon vèrtex li assignarem el primer color si no és adjacent i si ho és li assignarem el segon color.
  3. Si el tercer vèrtex és adjacent a tots dos anteriors li assignarem el tercer color, si no és adjacent al primer vèrtex li assignarem el primer color i si és adjacent al primer, però no al segon vèrtex li assignarem el segon color.
  4. Seguirem amb aquest procés fins que haguem assignat un color a tots els vèrtex.

Finalment acolorirem el graf i tot seguit el mapa.

Foto teorema dels 4 colors FINAL

En aquest enllaç podreu veure aquest procés d’acolorit, pas a pas, per al mapa de les Comunitats Autònomes d’Espanya, i veureu que és suficient pintar-lo amb només 3 colors.

Els grafs planars van ser ideats per Euler, un famós matemàtic molt important. A continuació us deixem un vídeo sobre la vida d’aquest home.

A la següent entrada, uns companys nostres us explicaran com saber si un graf es pot recòrrer d’una sola passada!

Conjectura dels nombres perfectes senars

Abans d’enunciar aquesta conjectura anem a veure alguns conceptes que ens ajudaran a entendre-la:

  • Nombres primers de Mersenne

Un nombre és primer de Mersenne si és un nombre primer de la forma Mn= 2n-1. Aquí us deixem alguns exemples:

n

Mn Mn és primer?

2

3

3

7

4

15 No
5 31

6

63

No

7

127

8

255 No
9 511

No

10

1023 No
11 2047

No

12 4095

No

13

8191
14 16383

No

15 32767

No

Així, els 5 primers primers de Mersenne són: 3, 7, 31, 127 i 8191.

ATENCIÓ!! Quan n no és primer Mn tampoc, però si n és primer no vol dir que Mn ho sigui. Això significa que el fet que n sigui primer és una condició necessària però no suficient per a que Mn sigui de Mersenne.

  • Nombres perfectes

Els nombres perfectes són aquells enters que són iguals a la suma dels seus divisors propis. Els divisors propis d’un nombre són tots els divisors del nombre excepte ell mateix.

Per exemple, 6 és un nombre perfecte ja que els seus divisors propis són: 1,2 i 3 (el 6 no és propi) i es cumpleix que: 1+2+3 = 6.

Una manera de trobar nombres perfectes és a partir dels nombres primers de Mersenne, ja que els nombres perfectes equivalen a la meitat del producte entre un nombre primer de Mersenne i el seu enter consecutiu.

Primer de Mersenne Consecutiu Producte Meitat del producte
3 4 12 6
7 8 56 28
31 32 992 496
127 128 16256 8128
255 256 65280 32640
511 512 261632 130816
1023 1024 1047552 523776
Comprovació:
  • Divisors propis de 6: 1,2,3     Suma: 1+2+3=6
  • Divisors propis de 28: 1,2,4,7,14    Suma: 1+2+4+7+14=28

Així, els 5 primers nombres perfectes són: 6, 28, 496, 8128 i 32640.

Doncs bé, la conjectura és la següent:

No existeixen nombres perfectes senars, tots són parells.

Voleu conèixer què són els nombres amics o els nombres sociables? Doncs mireu el següent video:

 

Conjectura dels nombres primers bessons

La conjectura dels nombres primers bessons postula l’existència d’infinits primers bessons.

Dos nombres primers es denominen bessons si la diferència entre els dos nombres és 2. Així doncs, el 3 i el 5 són una parella de nombres primers bessons. Altres exemples són l’11 i el 13, el 29 i el 31 o el 107 i el 109. A mesura que el nombre primer és més gran la freqüencia de nombres primers disminueix, però tot i així sempre apareixen nombres primers bessons.

La parella de bessons més gran trobada fins al moment (any 2005) és 33218925 · 2169690 ± 1.


Primeres 35 parelles de primers bessons:

(3,  5),    (5,  7),    (11, 13),   (17, 19),   (29, 31),   (41, 43),   (59, 61),   (71,  73),  (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193),  (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349),  (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619),  (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883)

Observant aquest garbell d’Eratòstenes de 30 col·lumnes es poden descobrir facilment els tres tipus de parelles dels nombres bessons:

  1. Primera columna de parelles (H-J): els nombres acaben en 7 i 9.
  2. Segona columna de parelles (T-1):  els nombres acaben en 9 i 1.
  3. Tercera columna de parelles (B-D): els nombres acaben en 1 i 3.

I això no és tot, què passa si multipliquem i sumem una parella de nombres primers bessons? Veiem-ho:

PARELLA DE NOMBRES SUMA PRODUCTE
3-5 8 15
5-7 12 35
11-13 24 143
17-19 36 323
29-31 60 899

Sou capaços de trobar una relació entre el producte i la suma?

Diguem que n és en número parell que hi ha entre la parella de nombres primers bessons. (En els cas de 3-5,  n=4)

Un cop em realitzat aquest procès podem anunciar que :

  • -la suma és el doble de n. (En el cas de 3-5, 2n=8).
  • -el producte és el quadrat de n menys 1. (En el cas de 3-5,  n²-1=15)

Però, no creieu que anem molt ràpid? Vejem, per començar,  què és un nombre primer.

Un nombre primer és un nombre enter superior a 1 que  admet exactament dos divisors : el propi nombre i 1.

Si us hi fixeu, tots els nombres naturals són divisibles entre ells mateixos i entre la unitat. Però els que no són primers, a més, també són divisibles entre altres nombres.

Fitxer:Prime rectangles.png

Exemple:

Número 11. L’il·lustració demostra que l’11 no té cap altre divisor exacte i en canvi el 12 sí.

 

Hi ha nombrosos algorismes per trobar nombres primers. El més senzill seria provar de dividir cada nombre per tots els nombres senars majors a 1 i menors o iguals a la seva arrel quadrada, però és molt poc eficient perquè requereix moltes divisions innecessàries; per exemple, un cop provat el dos, no cal provar tots els nombres parells, que sabem que seran divisibles per dos. Una extensió d’aquesta idea és el taulell d’Eratòstenes.

Sieve of Eratosthenes animation.gif

Aquest és un enllaç on podreu saber si qualsevol nombre que busqueu és primer: “http://es.calcuworld.com/calculadoras-matematicas/calculadora-de-numeros-primos/?iframe=1”

Euclides, ja al segle III a.C, va demostrar que hi ha infinits nombres primers. A més se sap que no hi ha límit per a la distància entre dos primers consecutius, és a dir, la diferència entre dos primers consecutius pot ser tant gran com es vulgui…

El nombres primers són molt importants ja que segons el teorema fonamental de l’aritmètica  qualsevol nombre enter positiu superior a 1 pot representar-se sempre com un producte de nombres primers, i aquesta representació  és única. Per tant, els nombres primers es poden considerar com els àtoms de les matemàtiques.

En canvi, encara hi ha numeroses conjectures i misteris al voltant dels nombres primers. La més important és la Hipòtesi de Riemman, una conjectura sobre la distribució dels nombres primers i que té l’honor de ser un dels 7 problemes del mil·leni.

Hi ha diversos tipus de nombres primers: els nombres primers de Fermat, els nombres primers de Mersenne, els nombres primers de Sophie Germain… però tot això ja ho veurem en una altra entrada.

Si voleu saber més sobre els nombres primers aquí us deixem l’enllaç a l’enciclopèdia online dels nombres primers: http://www.wikiprimes.com/es

I aquí teniu un parell de videos molt interesants:

La conjectura de Goldbach

La conjectura forta de Goldbach (1742) diu que tot nombre parell major que 2 es pot expressar com a suma de dos nombres primers (tingueu en compte que l’1 no es considera primer). És un enunciat senzill que, com passa en moltes altres ocasions, ens duu a estudis molt complicats.

Alguns exemples de la conjectura són aquests:

6=3+3                24=17+7               78=31+47             354=127+227          …

Aquesta afirmació va ser enunciada en una carta que va escriure Christian Goldbach al gran matemàtic de l’època Leonard Euler.

La interessant pel·lícula “La habitación de Fermat” comença amb l’enunciat d’aquesta conjectura.

 

En aquesta web podem obtenir la representació d’un número parell com suma de dos números primers, simplement introduïnt el mateix.

en aquest enllaç podem veure un video que parla de la història de la Conjectura de Goldbach.

Com diu en en vídeo, la conectura dèbil de Goldbach (“tot nombre senar major a cinc es pot escriure com la suma de 3 nombres primers“) es va demostrar l’any 2013 per Herald Andrés, un matemàtic peruà.

Conjectura de Collatz

La Conjectura de Collatz és una conjectura matemàtica així denominada perquè la va proposar per primer cop el matemàtic alemany Lothar Collatz l’any 1937. La conjectura ha rebut altres noms com conjectura 3n + 1.

Lothar Collatz: Lothar Collatz (6 de juliol, 1910, Arnsberg, Westphalia – 26 setembre 1990, Varna, Bulgària) va ser un matemàtic alemany.

L’enunciat diu que des de qualsevol nombre natural es pot arribar a la unitat amb aquest procés:

  • Si el número és parell; aquest es divideix entre 2.
  • Si el número és senar: aquest es multiplica per 3 i es suma 1 al resultat.

Per exemple, si n = 13, seria:

13,  13 · 3 +1= 40,  40/2 = 20, 20/2 = 10, 10/2= 5, 5·3 + 1= 16, 16/2 = 8, 8/2 = 4, 4/2 = 2, 2/2 = 1

I si n = 120 seria:

120,  120/2 = 60, 60/2 = 30, 30/2 = 15 , 15·3 + 1 = 46, 46/2 = 23 , 23· 3 +1 = 70, 70/2 = 35, 35 · 3 + 1 = 106,, 106/2 =53,  … , = 1

Vam fer un full de càlcul que ens ajudava a calcular la sèrie de Collatz d’un numero natural:

collatz

Per fer-ho vam haver d’utilitzar el codi: =SI(ESPARELL(C3);C3/2;C3*3+1)

-Estat actual del problema:

Encara que no s’ha demostrat la veracitat o falsedat del resultat, hi ha certes evidències en tots dos sentits

Si hi ha algun contraexemple a la conjectura (és a dir, un nombre la seqüència no arribi mai el 1), ha de satisfer alguna d’aquestes condicions:

1) l’òrbita del nombre no està fitada; o bé

2) l’òrbita també és periòdica, però amb un període diferent de 4, 2, 1.

En el següent enllaç podreu veure l’òrbita de tots els nombres que tenen una òrbita inferior a 19: https://www.jasondavies.com/collatz-graph/

Aquest problema, està en la llista de problemes no resolts de les matemàtiques 

Axiomes, conjectures i teoremes

El raonament deductiu és aquell que partint d’unes condicions i seguint unes pautes lògiquespermet arribar a una conclusió. És un raonament que va del general al particular.

Perquè la conclusió d’un raonament deductiu sigui certa, les premisses (condicions) de les quals parteixen han de ser vertaderes.

Un axioma és una afirmació que no s’ha de demostrar ja que és evident i vertadera.

En l’obra Els elements d’Euclides, apareixen els cinc axiomes/postulats de la geometria Euclidiana:

  1. Donats dos punts qualsevol només es pot traçar una recta que els uneixi.
  2. Qualsevol segment pot prolongar-se de forma contínua en qualsevol sentit.
  3. Es pot traçar una circumferència amb centre qualsevol punt i de qualsevol radi.
  4. Tots els angles rectes són iguals.
  5. Per un punt exterior en una recta, es pot traçar una única paral·lela a la recta.

A partir d’aquests axiomes es contrueix tota la geometria plana.

Al S.XVIII, es comença a comprovar la validesa del 5è axioma partint de la premisa de que sigui fals. A partir de la negació d’aquest, sorgeixen dues noves geometries:

  1. GEOMETRIA HIPERBÒLICA:
    • Gauss, Lobachevsky i Bolyai
    • Van substituir el cinquè postulat pel següent axioma: “Per un punt exterior a una recta es poden traçar més d’una paral·lela a la recta donada”.
    • En aquesta geometria, la suma dels angles d’un triangle sumen menys de 180 graus.

  1. GEOMETRIA ESFÈRICA:
    • Riemman
    • Va substituir el cinquè postulat pel següent axioma: “Per un punt exterior a una recta no passen rectes que no la tallin, és a dir, no existeixen rectes paral·leles.
    • En aquesta geometria, la suma dels angles d’un triangle sumen més de 180 graus.

Gràcies a aquestes dues geometries, Albert Einstein va poder elaborar, ara fa 100 anys, la Teoria de la Relativitat General, la qual diu que l’espai i el temps estan relacionats.

El raonament inductiu és aquell que partint de casos particulars permet formular afirmacions de caràcter general. Aquest tipus de raonament és utilitzat per realitzar hipòtesi o conjectures.

Una conjectura és una afirmació per a les quals hi ha bones intuïcions de que és vertadera però encara no ha estat demostrada, no té un raonament.

Un teorema és una afirmació que està demostrada i té una importància rellevant, en resum, és una conjectura demostrada.

 

1Regles d’indiferència creades pel filòsof Aristòtil al S.IV aC.

A continuació, us deixem un video que explica algunes conjectures (problemes encara oberts) i alguns dels teoremes més famosos de les matemàtiques pel temps que van tardar en demostrar-se. Aquestes conjectures i teoremes els estudiarem al llarg d’aquesta matèria.

Us n’anirem informant!

Ja hem començat la matèria!

Aquesta setmana passada ja hem començat la M.O d’ampliació de matemàtiques de 3r d’ESO.

Som 17 alumnes magnífics i el seu professor i estic convençut que aprendrem moltes coses de matemàtiques i les gaudirem moltíssim!

Així doncs, aquest bloc arrancarà d’aquí a molt poc!

Ànims als seus autors perquè podem fer un blog realment interessant!

Fins aviat!!