EL RAONAMENT INDUCTIU

droopy-investigadorEl raonament inductiu, inducció o mètode lògic inductiu és el procés de raonament pel qual s’arriba a una conclusió a partir de la generalització. Es parteix de l’observació d’una propietat per a casos particulars (premises), i aquest tipus de raonament ens permet generalitzar-la per a molts més casos arribant a la esmentada conclusió.

Veiem un exemple:

Premisses (casos particulars):

  • He observat el corb número 1 i és de color negre.observació corb
  • El corb número 2 també és negre.
  • El corb número 3 també és negre.
  • El corb número 4 també és negre

Conclusió (afirmació general):

  • Aleshores, tots els corbs són negres.

En matemàtiques, aquest tipus de raonament ens permet elaborar conjectures.

Per exemple:

La suma de dos nombres parells és…

2+4= 6 -> Parell // 16+44= 60 -> Parell // 200+36 = 236 -> Parell

Veiem que tots els resultats particulars són parells, generalitzant podem dir que:

La suma de dos nombres parells és… parell.

Aquesta afirmació ens sembla que serà certa, però es veu que caldrà una demostració formal per a poder-ne estar convençuts…

A classe, hem fet uns exercicis en els quals hem pogut practicar el raonament inductiu. Aquí us posarem uns quants exemples resolts i alguns per resoldre.

Exemple 1: El producte de dos nombres senars és … ??

3×9=27 -> Senar // 25×3= 75 -> Senar //  33×11= 363 -> Senar

I com que tots són senars doncs…

El producte de dos nombres senars és… senar

Exemple 2: El quadrat d’un nombre parell és… ??

22 = 4 -> Parell // 42= 16 -> Parell // 62= 36 -> Parell

I com que tots són parells doncs…

El quadrat d’un nombre parell és… parell

Exemple 3: Si n és múltiple de 3 aleshores n2 -n és múltiple de …. ??

n= 3  -> 32– 3 = 6 // n = 6 -> 62 – 6 = 30 // n= 9 -> 92  – 9 = 72

Observem que tots són múltiples de 3 i de 6 però com que tot múltiple de 6 també ho ha de ser de 3, per tant ser múltiple de 6 és més general, doncs…

Si n és múltiple de 3 aleshores n2-n és múltiple de…. 6

Exemple 4: Si n és un nombre enter qualsevol n2  + 3n + 4 és …. ??

n = 4 -> 16 + 12 + 4 = 32 // n = 7 -> 49 + 21 + 4 = 74 // n = 8 -> 64 + 24 + 4 = 92 

Observem que tots els nombres que hem obtingut són parells, per tant…

Si n és un nombre enter qualsevol n2  + 3n + 4 és …. parell

No sembla difícil, no?. Us atreviu a fer-ho vosaltres? pyohpp352874

Proveu-ho amb aquests exercicis, ja veureu que en sou capaços!

  1. Si n2 és senar, aleshores n és…
  2. El producte de dos nombres senar és..
  3. La suma d’un nombre parell i un senar és…
  4. Si n és un nombre natural aleshores (2n-2)·(2n+1)·(2n+3) és múltiple de…
  5. Si n és senar aleshores n3-n és múltiple de…
  6. Si n és un nombre enter qualsevol n3+3n2+5n és múltiple de…
  7. Si a un nombre (de més d’una xifra i que no sigui capicúa) li restem el nombre que resulta d’invertir les seves xifres el resultat és múltiple de…. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Anuncis

Conjectura dels nombres perfectes senars

Abans d’enunciar aquesta conjectura anem a veure alguns conceptes que ens ajudaran a entendre-la:

  • Nombres primers de Mersenne

Un nombre és primer de Mersenne si és un nombre primer de la forma Mn= 2n-1. Aquí us deixem alguns exemples:

n

Mn Mn és primer?

2

3

3

7

4

15 No
5 31

6

63

No

7

127

8

255 No
9 511

No

10

1023 No
11 2047

No

12 4095

No

13

8191
14 16383

No

15 32767

No

Així, els 5 primers primers de Mersenne són: 3, 7, 31, 127 i 8191.

ATENCIÓ!! Quan n no és primer Mn tampoc, però si n és primer no vol dir que Mn ho sigui. Això significa que el fet que n sigui primer és una condició necessària però no suficient per a que Mn sigui de Mersenne.

  • Nombres perfectes

Els nombres perfectes són aquells enters que són iguals a la suma dels seus divisors propis. Els divisors propis d’un nombre són tots els divisors del nombre excepte ell mateix.

Per exemple, 6 és un nombre perfecte ja que els seus divisors propis són: 1,2 i 3 (el 6 no és propi) i es cumpleix que: 1+2+3 = 6.

Una manera de trobar nombres perfectes és a partir dels nombres primers de Mersenne, ja que els nombres perfectes equivalen a la meitat del producte entre un nombre primer de Mersenne i el seu enter consecutiu.

Primer de Mersenne Consecutiu Producte Meitat del producte
3 4 12 6
7 8 56 28
31 32 992 496
127 128 16256 8128
255 256 65280 32640
511 512 261632 130816
1023 1024 1047552 523776
Comprovació:
  • Divisors propis de 6: 1,2,3     Suma: 1+2+3=6
  • Divisors propis de 28: 1,2,4,7,14    Suma: 1+2+4+7+14=28

Així, els 5 primers nombres perfectes són: 6, 28, 496, 8128 i 32640.

Doncs bé, la conjectura és la següent:

No existeixen nombres perfectes senars, tots són parells.

Voleu conèixer què són els nombres amics o els nombres sociables? Doncs mireu el següent video:

 

Conjectura dels nombres primers bessons

La conjectura dels nombres primers bessons postula l’existència d’infinits primers bessons.

Dos nombres primers es denominen bessons si la diferència entre els dos nombres és 2. Així doncs, el 3 i el 5 són una parella de nombres primers bessons. Altres exemples són l’11 i el 13, el 29 i el 31 o el 107 i el 109. A mesura que el nombre primer és més gran la freqüencia de nombres primers disminueix, però tot i així sempre apareixen nombres primers bessons.

La parella de bessons més gran trobada fins al moment (any 2005) és 33218925 · 2169690 ± 1.


Primeres 35 parelles de primers bessons:

(3,  5),    (5,  7),    (11, 13),   (17, 19),   (29, 31),   (41, 43),   (59, 61),   (71,  73),  (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193),  (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349),  (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619),  (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883)

Observant aquest garbell d’Eratòstenes de 30 col·lumnes es poden descobrir facilment els tres tipus de parelles dels nombres bessons:

  1. Primera columna de parelles (H-J): els nombres acaben en 7 i 9.
  2. Segona columna de parelles (T-1):  els nombres acaben en 9 i 1.
  3. Tercera columna de parelles (B-D): els nombres acaben en 1 i 3.

I això no és tot, què passa si multipliquem i sumem una parella de nombres primers bessons? Veiem-ho:

PARELLA DE NOMBRES SUMA PRODUCTE
3-5 8 15
5-7 12 35
11-13 24 143
17-19 36 323
29-31 60 899

Sou capaços de trobar una relació entre el producte i la suma?

Diguem que n és en número parell que hi ha entre la parella de nombres primers bessons. (En els cas de 3-5,  n=4)

Un cop em realitzat aquest procès podem anunciar que :

  • -la suma és el doble de n. (En el cas de 3-5, 2n=8).
  • -el producte és el quadrat de n menys 1. (En el cas de 3-5,  n²-1=15)

Però, no creieu que anem molt ràpid? Vejem, per començar,  què és un nombre primer.

Un nombre primer és un nombre enter superior a 1 que  admet exactament dos divisors : el propi nombre i 1.

Si us hi fixeu, tots els nombres naturals són divisibles entre ells mateixos i entre la unitat. Però els que no són primers, a més, també són divisibles entre altres nombres.

Fitxer:Prime rectangles.png

Exemple:

Número 11. L’il·lustració demostra que l’11 no té cap altre divisor exacte i en canvi el 12 sí.

 

Hi ha nombrosos algorismes per trobar nombres primers. El més senzill seria provar de dividir cada nombre per tots els nombres senars majors a 1 i menors o iguals a la seva arrel quadrada, però és molt poc eficient perquè requereix moltes divisions innecessàries; per exemple, un cop provat el dos, no cal provar tots els nombres parells, que sabem que seran divisibles per dos. Una extensió d’aquesta idea és el taulell d’Eratòstenes.

Sieve of Eratosthenes animation.gif

Aquest és un enllaç on podreu saber si qualsevol nombre que busqueu és primer: “http://es.calcuworld.com/calculadoras-matematicas/calculadora-de-numeros-primos/?iframe=1”

Euclides, ja al segle III a.C, va demostrar que hi ha infinits nombres primers. A més se sap que no hi ha límit per a la distància entre dos primers consecutius, és a dir, la diferència entre dos primers consecutius pot ser tant gran com es vulgui…

El nombres primers són molt importants ja que segons el teorema fonamental de l’aritmètica  qualsevol nombre enter positiu superior a 1 pot representar-se sempre com un producte de nombres primers, i aquesta representació  és única. Per tant, els nombres primers es poden considerar com els àtoms de les matemàtiques.

En canvi, encara hi ha numeroses conjectures i misteris al voltant dels nombres primers. La més important és la Hipòtesi de Riemman, una conjectura sobre la distribució dels nombres primers i que té l’honor de ser un dels 7 problemes del mil·leni.

Hi ha diversos tipus de nombres primers: els nombres primers de Fermat, els nombres primers de Mersenne, els nombres primers de Sophie Germain… però tot això ja ho veurem en una altra entrada.

Si voleu saber més sobre els nombres primers aquí us deixem l’enllaç a l’enciclopèdia online dels nombres primers: http://www.wikiprimes.com/es

I aquí teniu un parell de videos molt interesants:

La conjectura de Goldbach

La conjectura forta de Goldbach (1742) diu que tot nombre parell major que 2 es pot expressar com a suma de dos nombres primers (tingueu en compte que l’1 no es considera primer). És un enunciat senzill que, com passa en moltes altres ocasions, ens duu a estudis molt complicats.

Alguns exemples de la conjectura són aquests:

6=3+3                24=17+7               78=31+47             354=127+227          …

Aquesta afirmació va ser enunciada en una carta que va escriure Christian Goldbach al gran matemàtic de l’època Leonard Euler.

La interessant pel·lícula “La habitación de Fermat” comença amb l’enunciat d’aquesta conjectura.

 

En aquesta web podem obtenir la representació d’un número parell com suma de dos números primers, simplement introduïnt el mateix.

en aquest enllaç podem veure un video que parla de la història de la Conjectura de Goldbach.

Com diu en en vídeo, la conectura dèbil de Goldbach (“tot nombre senar major a cinc es pot escriure com la suma de 3 nombres primers“) es va demostrar l’any 2013 per Herald Andrés, un matemàtic peruà.

Conjectura de Collatz

La Conjectura de Collatz és una conjectura matemàtica així denominada perquè la va proposar per primer cop el matemàtic alemany Lothar Collatz l’any 1937. La conjectura ha rebut altres noms com conjectura 3n + 1.

Lothar Collatz: Lothar Collatz (6 de juliol, 1910, Arnsberg, Westphalia – 26 setembre 1990, Varna, Bulgària) va ser un matemàtic alemany.

L’enunciat diu que des de qualsevol nombre natural es pot arribar a la unitat amb aquest procés:

  • Si el número és parell; aquest es divideix entre 2.
  • Si el número és senar: aquest es multiplica per 3 i es suma 1 al resultat.

Per exemple, si n = 13, seria:

13,  13 · 3 +1= 40,  40/2 = 20, 20/2 = 10, 10/2= 5, 5·3 + 1= 16, 16/2 = 8, 8/2 = 4, 4/2 = 2, 2/2 = 1

I si n = 120 seria:

120,  120/2 = 60, 60/2 = 30, 30/2 = 15 , 15·3 + 1 = 46, 46/2 = 23 , 23· 3 +1 = 70, 70/2 = 35, 35 · 3 + 1 = 106,, 106/2 =53,  … , = 1

Vam fer un full de càlcul que ens ajudava a calcular la sèrie de Collatz d’un numero natural:

collatz

Per fer-ho vam haver d’utilitzar el codi: =SI(ESPARELL(C3);C3/2;C3*3+1)

-Estat actual del problema:

Encara que no s’ha demostrat la veracitat o falsedat del resultat, hi ha certes evidències en tots dos sentits

Si hi ha algun contraexemple a la conjectura (és a dir, un nombre la seqüència no arribi mai el 1), ha de satisfer alguna d’aquestes condicions:

1) l’òrbita del nombre no està fitada; o bé

2) l’òrbita també és periòdica, però amb un període diferent de 4, 2, 1.

En el següent enllaç podreu veure l’òrbita de tots els nombres que tenen una òrbita inferior a 19: https://www.jasondavies.com/collatz-graph/

Aquest problema, està en la llista de problemes no resolts de les matemàtiques