Conjectura dels nombres perfectes senars

Abans d’enunciar aquesta conjectura anem a veure alguns conceptes que ens ajudaran a entendre-la:

• Nombres primers de Mersenne

Un nombre és primer de Mersenne si és un nombre primer de la forma M_n= 2ⁿ-1. Aquí us deixem alguns exemples:

n	Mn	Mn és primer?
2	3	Sí
3	7	Sí
4	15	No
5	31	Sí
6	63	No
7	127	Sí
8	255	No
9	511	No
10	1023	No
11	2047	No
12	4095	No
13	8191	Sí
14	16383	No
15	32767	No

Així, els 5 primers primers de Mersenne són: 3, 7, 31, 127 i 8191.

ATENCIÓ!! Quan n no és primer M_n tampoc, però si n és primer no vol dir que M_n ho sigui. Això significa que el fet que n sigui primer és una condició necessària però no suficient per a que M_n sigui de Mersenne.

• Nombres perfectes

Els nombres perfectes són aquells enters que són iguals a la suma dels seus divisors propis. Els divisors propis d’un nombre són tots els divisors del nombre excepte ell mateix.

Per exemple, 6 és un nombre perfecte ja que els seus divisors propis són: 1,2 i 3 (el 6 no és propi) i es cumpleix que: 1+2+3 = 6.

Una manera de trobar nombres perfectes és a partir dels nombres primers de Mersenne, ja que els nombres perfectes equivalen a la meitat del producte entre un nombre primer de Mersenne i el seu enter consecutiu.

Primer de Mersenne	Consecutiu	Producte	Meitat del producte
3	4	12	6
7	8	56	28
31	32	992	496
127	128	16256	8128
255	256	65280	32640
511	512	261632	130816
1023	1024	1047552	523776

Comprovació:

• Divisors propis de 6: 1,2,3     Suma: 1+2+3=6
• Divisors propis de 28: 1,2,4,7,14    Suma: 1+2+4+7+14=28

Així, els 5 primers nombres perfectes són: 6, 28, 496, 8128 i 32640.

Doncs bé, la conjectura és la següent:

No existeixen nombres perfectes senars, tots són parells.

Voleu conèixer què són els nombres amics o els nombres sociables? Doncs mireu el següent video: