Conjectura dels nombres perfectes senars

Abans d’enunciar aquesta conjectura anem a veure alguns conceptes que ens ajudaran a entendre-la:

  • Nombres primers de Mersenne

Un nombre és primer de Mersenne si és un nombre primer de la forma Mn= 2n-1. Aquí us deixem alguns exemples:

n

Mn Mn és primer?

2

3

3

7

4

15 No
5 31

6

63

No

7

127

8

255 No
9 511

No

10

1023 No
11 2047

No

12 4095

No

13

8191
14 16383

No

15 32767

No

Així, els 5 primers primers de Mersenne són: 3, 7, 31, 127 i 8191.

ATENCIÓ!! Quan n no és primer Mn tampoc, però si n és primer no vol dir que Mn ho sigui. Això significa que el fet que n sigui primer és una condició necessària però no suficient per a que Mn sigui de Mersenne.

  • Nombres perfectes

Els nombres perfectes són aquells enters que són iguals a la suma dels seus divisors propis. Els divisors propis d’un nombre són tots els divisors del nombre excepte ell mateix.

Per exemple, 6 és un nombre perfecte ja que els seus divisors propis són: 1,2 i 3 (el 6 no és propi) i es cumpleix que: 1+2+3 = 6.

Una manera de trobar nombres perfectes és a partir dels nombres primers de Mersenne, ja que els nombres perfectes equivalen a la meitat del producte entre un nombre primer de Mersenne i el seu enter consecutiu.

Primer de Mersenne Consecutiu Producte Meitat del producte
3 4 12 6
7 8 56 28
31 32 992 496
127 128 16256 8128
255 256 65280 32640
511 512 261632 130816
1023 1024 1047552 523776
Comprovació:
  • Divisors propis de 6: 1,2,3     Suma: 1+2+3=6
  • Divisors propis de 28: 1,2,4,7,14    Suma: 1+2+4+7+14=28

Així, els 5 primers nombres perfectes són: 6, 28, 496, 8128 i 32640.

Doncs bé, la conjectura és la següent:

No existeixen nombres perfectes senars, tots són parells.

Voleu conèixer què són els nombres amics o els nombres sociables? Doncs mireu el següent video:

 

Anuncis