Resolem un problema més simple i busquem pautes, regularitats

A l’entrada anterior hem vist que estudiar els casos particulars ens permetia arribar a la solució d’un cas més general. En aquesta entrada seguirem amb la mateixa idea: per resoldre un problema que pot resultar complicat per la seva mida o per contenir masses elements, resoldrem un problema similar el més senzill possible i l’anirem complicant fins arribar al problema proposat inicialment.

Us proposarem uns problemes que no són d’aquells que penseu que són “un pal”, que us recorden a la vostra infància; ben al contrari, són problemes per trencar-s’hi el coco, que quan no et surten et fan tanta ràbia que fins que no el soluciones no vas a dormir. Aquí us en deixem uns quants amb la seva resolució. Us recomanem que intenteu fer-los abans de donar-vos per vençuts i mirar la solució. Ànims i que el raonament inductiu us marqui el camí!

Us agraden els polígons? Doncs aquí un problema sobre quadrats…

PROBLEMA 1: Si us diguessin que el tauler d’escacs conté 204 quadrets us ho creuríeu…? Cert o fals? Comprova-ho!

Primerament, buscarem casos similars però més senzills. D’aquesta manera ens serà més fàcil resoldre el problema. Hem recollit l’estudi dels casos en aquesta taula:

taula

Com que un tauler d’escacs té dimensions 8×8, haurem de calcular la suma:

1

No és difícil calcular aquesta suma, però utilitzarem la fòrmula que vam deduïr unes classes abans:2

Substituïnt la n per 8, obtenim que:

3

Per tant, és cert que hi ha 204 quadrets!

L’heu aconseguit resoldre sense mirar la solució? Si és així, enhorabona!

I a continuació, un altre sobre polígons…

PROBLEMA 2: Quantes diagonals té un polígon convex de 85 costats? 

Primerament, buscarem casos similars però més senzills. D’aquesta manera ens serà més fàcil resoldre el problema. Utilitzem la taula següent:

final2

La sèrie del nombre de diagonals és: 0,2,5,9,14… El primer que observem és que:

4

És a dir, en afegir el 4t costat s’afegeixen 2 diagonals; en afegir el 5è costat s’afegeixen 3 diagonals; en afegir el 6è costat s’afegeixen 4 diagonals; en afegir el 7è costat s’afegeixen 5 diagonals…

Generalitzant, sembla que en afegir el 85è costat afegirem 83 diagonals, per tant, hem de calcular la suma:5

Per calcular aquesta suma utilitzarem la fòrmula que vam comprovar a classe:

6

Substituïnt n per 83, obtenim:

7

Per tant, 8

Mentre fèiem aquest exercici ens vam adonar que cada vèrtex s’unia amb tots els altres vèrtexs excepte 3: ell mateix i els dos dels costats. Però d’aquesta manera cada diagonal la comptariem dos cops, per tant vam deduïr que:

Si n és el nombre de costats del polígon:

9

Per tant, per al polígon de 85 costats tenim que:

10

I conicidia amb el resultat que haviem obtingut!

I a continuació us proposem un parell d’exercicis més:

PROBLEMA 3Aquesta piràmide de nombres continua sota el mar. La suma total dels números del primer nivell és de 29791. Quants nivells de nombres té aquesta piràmide?

piramide

PROBLEMA 4: Es plega una tira de paper, llarga i prima, 10 vegades successives per la meitat. En desplegar-la, quants doblecs es veurà?

 

Anuncis

El mètode inductiu: Sèries numèriques amb sumes i productes en funció d’n

Sabeu què significa aquesta expressió?:

1

Representa la suma dels primers “n” nombres senars: els punts suspensius signifiquen “fins a…” i (2n-1) és l’expressió generals de l’enèssim nombre senar.

Podem trobar alguna fòrmula que ens digui què val aquesta suma en funció d’n?

Anem a intentar-ho! La millor manera és anar veient què val aquesta suma provant per a casos particulars, n=1, n=2, n=3, n=4, n=5, per intentar, mitjançant la inducció, arribar al cas general n.

2

Veieu alguna relació entre el nombre de termes (n) i el resultat de la suma? Doncs sí! La suma dona el quadrat del nombre de termes!!

3

Llavors, és fàcil generalitzar que:

4

Una prova visual d’aquesta igualtat és:

5

L’enteneu? Veieu la relació?

Anem a practicar la generalització amb un altre exemple. Enlloc de Sn tenim Pn, que vol dir anar multiplicant els nombres fins a n, per a tot n major o igual a 2:

6

Substituïm n per a n=2, n=3, n=4, n=5 i n=6:

7

A partir d’això podem observar que:

8

I ara us toca a vosaltres! Proveu de generalitzar aquestes expressions:

9

10