El Teorema de Poincaré

Us proposem el següent joc:

Sabríeu reconèixer quin d’aquests personatges és  considerat un dels més intel·ligent del món pel seu alt C.I (238) i per haver resolt un problema matemàtic que portava gairebé 100 anys sense resoldre’s?

Molt bé! De ben segur que ho heu encertat!

Aquest home de cabell despentinat, barba descuidada, ungles llargues, mirada perduda i amb roba vella ha revolucionat les matemàtiques, ha obert nous camps d’investigació, ha obtingut i refusat els premis més prestigiosos de matemàtiques, inclòs un milió de dòlars,  i ha resolt la famosa Conjectura de Poincaré.

Voleu saber una mica més d’aquesta història?

El Teorema de Poincaré és un dels set problemes del mil·lenni, proposats per l’institut Clay de Matemàtiques (sona bastant bé); de fet, és l’únic que s’ha resolt. Quan parlem dels “set problemes del mil·lenni” parlem dels que es consideren els problemes més importants de les matemàtiques, i els més difícils de resoldre. Aquests problemes són: P versus NP, La conjectura de Hodge, La hipòtesis de Riemann, l’existència i “mass gap” de la teoria de Yang-Mills, l’existència i “suavitat” de Navier-Stokes, la conjectura de Biirch i Swinnerton-Dyer, i la Conjectura de Poincaré”. Aquest últim és del que anirà l’entrada. Per cert, aquests problemes estan cadascun d’ells premiats amb un milió de dòlars per qui els resolgui.

Continua llegint

Anuncis

Conjectura dels nombres primers bessons

La conjectura dels nombres primers bessons postula l’existència d’infinits primers bessons.

Dos nombres primers es denominen bessons si la diferència entre els dos nombres és 2. Així doncs, el 3 i el 5 són una parella de nombres primers bessons. Altres exemples són l’11 i el 13, el 29 i el 31 o el 107 i el 109. A mesura que el nombre primer és més gran la freqüencia de nombres primers disminueix, però tot i així sempre apareixen nombres primers bessons.

La parella de bessons més gran trobada fins al moment (any 2005) és 33218925 · 2169690 ± 1.


Primeres 35 parelles de primers bessons:

(3,  5),    (5,  7),    (11, 13),   (17, 19),   (29, 31),   (41, 43),   (59, 61),   (71,  73),  (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193),  (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349),  (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619),  (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883)

Observant aquest garbell d’Eratòstenes de 30 col·lumnes es poden descobrir facilment els tres tipus de parelles dels nombres bessons:

  1. Primera columna de parelles (H-J): els nombres acaben en 7 i 9.
  2. Segona columna de parelles (T-1):  els nombres acaben en 9 i 1.
  3. Tercera columna de parelles (B-D): els nombres acaben en 1 i 3.

I això no és tot, què passa si multipliquem i sumem una parella de nombres primers bessons? Veiem-ho:

PARELLA DE NOMBRES SUMA PRODUCTE
3-5 8 15
5-7 12 35
11-13 24 143
17-19 36 323
29-31 60 899

Sou capaços de trobar una relació entre el producte i la suma?

Diguem que n és en número parell que hi ha entre la parella de nombres primers bessons. (En els cas de 3-5,  n=4)

Un cop em realitzat aquest procès podem anunciar que :

  • -la suma és el doble de n. (En el cas de 3-5, 2n=8).
  • -el producte és el quadrat de n menys 1. (En el cas de 3-5,  n²-1=15)

Però, no creieu que anem molt ràpid? Vejem, per començar,  què és un nombre primer.

Un nombre primer és un nombre enter superior a 1 que  admet exactament dos divisors : el propi nombre i 1.

Si us hi fixeu, tots els nombres naturals són divisibles entre ells mateixos i entre la unitat. Però els que no són primers, a més, també són divisibles entre altres nombres.

Fitxer:Prime rectangles.png

Exemple:

Número 11. L’il·lustració demostra que l’11 no té cap altre divisor exacte i en canvi el 12 sí.

 

Hi ha nombrosos algorismes per trobar nombres primers. El més senzill seria provar de dividir cada nombre per tots els nombres senars majors a 1 i menors o iguals a la seva arrel quadrada, però és molt poc eficient perquè requereix moltes divisions innecessàries; per exemple, un cop provat el dos, no cal provar tots els nombres parells, que sabem que seran divisibles per dos. Una extensió d’aquesta idea és el taulell d’Eratòstenes.

Sieve of Eratosthenes animation.gif

Aquest és un enllaç on podreu saber si qualsevol nombre que busqueu és primer: “http://es.calcuworld.com/calculadoras-matematicas/calculadora-de-numeros-primos/?iframe=1”

Euclides, ja al segle III a.C, va demostrar que hi ha infinits nombres primers. A més se sap que no hi ha límit per a la distància entre dos primers consecutius, és a dir, la diferència entre dos primers consecutius pot ser tant gran com es vulgui…

El nombres primers són molt importants ja que segons el teorema fonamental de l’aritmètica  qualsevol nombre enter positiu superior a 1 pot representar-se sempre com un producte de nombres primers, i aquesta representació  és única. Per tant, els nombres primers es poden considerar com els àtoms de les matemàtiques.

En canvi, encara hi ha numeroses conjectures i misteris al voltant dels nombres primers. La més important és la Hipòtesi de Riemman, una conjectura sobre la distribució dels nombres primers i que té l’honor de ser un dels 7 problemes del mil·leni.

Hi ha diversos tipus de nombres primers: els nombres primers de Fermat, els nombres primers de Mersenne, els nombres primers de Sophie Germain… però tot això ja ho veurem en una altra entrada.

Si voleu saber més sobre els nombres primers aquí us deixem l’enllaç a l’enciclopèdia online dels nombres primers: http://www.wikiprimes.com/es

I aquí teniu un parell de videos molt interesants: