Resolem un problema més simple i busquem pautes, regularitats

A l’entrada anterior hem vist que estudiar els casos particulars ens permetia arribar a la solució d’un cas més general. En aquesta entrada seguirem amb la mateixa idea: per resoldre un problema que pot resultar complicat per la seva mida o per contenir masses elements, resoldrem un problema similar el més senzill possible i l’anirem complicant fins arribar al problema proposat inicialment.

Us proposarem uns problemes que no són d’aquells que penseu que són “un pal”, que us recorden a la vostra infància; ben al contrari, són problemes per trencar-s’hi el coco, que quan no et surten et fan tanta ràbia que fins que no el soluciones no vas a dormir. Aquí us en deixem uns quants amb la seva resolució. Us recomanem que intenteu fer-los abans de donar-vos per vençuts i mirar la solució. Ànims i que el raonament inductiu us marqui el camí!

Us agraden els polígons? Doncs aquí un problema sobre quadrats…

PROBLEMA 1: Si us diguessin que el tauler d’escacs conté 204 quadrets us ho creuríeu…? Cert o fals? Comprova-ho!

Primerament, buscarem casos similars però més senzills. D’aquesta manera ens serà més fàcil resoldre el problema. Hem recollit l’estudi dels casos en aquesta taula:

Com que un tauler d’escacs té dimensions 8×8, haurem de calcular la suma:

No és difícil calcular aquesta suma, però utilitzarem la fòrmula que vam deduïr unes classes abans:

Substituïnt la n per 8, obtenim que:

Per tant, és cert que hi ha 204 quadrets!

L’heu aconseguit resoldre sense mirar la solució? Si és així, enhorabona!

I a continuació, un altre sobre polígons…

PROBLEMA 2: Quantes diagonals té un polígon convex de 85 costats? 

Primerament, buscarem casos similars però més senzills. D’aquesta manera ens serà més fàcil resoldre el problema. Utilitzem la taula següent:

La sèrie del nombre de diagonals és: 0,2,5,9,14… El primer que observem és que:

És a dir, en afegir el 4t costat s’afegeixen 2 diagonals; en afegir el 5è costat s’afegeixen 3 diagonals; en afegir el 6è costat s’afegeixen 4 diagonals; en afegir el 7è costat s’afegeixen 5 diagonals…

Generalitzant, sembla que en afegir el 85è costat afegirem 83 diagonals, per tant, hem de calcular la suma:

Per calcular aquesta suma utilitzarem la fòrmula que vam comprovar a classe:

Substituïnt n per 83, obtenim:

Per tant, 

Mentre fèiem aquest exercici ens vam adonar que cada vèrtex s’unia amb tots els altres vèrtexs excepte 3: ell mateix i els dos dels costats. Però d’aquesta manera cada diagonal la comptariem dos cops, per tant vam deduïr que:

Si n és el nombre de costats del polígon:

Per tant, per al polígon de 85 costats tenim que:

I conicidia amb el resultat que haviem obtingut!

I a continuació us proposem un parell d’exercicis més:

PROBLEMA 3: Aquesta piràmide de nombres continua sota el mar. La suma total dels números del primer nivell és de 29791. Quants nivells de nombres té aquesta piràmide?

PROBLEMA 4: Es plega una tira de paper, llarga i prima, 10 vegades successives per la meitat. En desplegar-la, quants doblecs es veurà?

 

El mètode inductiu: Sèries numèriques amb sumes i productes en funció d’n

Sabeu què significa aquesta expressió?:

Representa la suma dels primers “n” nombres senars: els punts suspensius signifiquen “fins a…” i (2n-1) és l’expressió generals de l’enèssim nombre senar.

Podem trobar alguna fòrmula que ens digui què val aquesta suma en funció d’n?

Anem a intentar-ho! La millor manera és anar veient què val aquesta suma provant per a casos particulars, n=1, n=2, n=3, n=4, n=5, per intentar, mitjançant la inducció, arribar al cas general n.

Veieu alguna relació entre el nombre de termes (n) i el resultat de la suma? Doncs sí! La suma dona el quadrat del nombre de termes!!

Llavors, és fàcil generalitzar que:

Una prova visual d’aquesta igualtat és:

L’enteneu? Veieu la relació?

Anem a practicar la generalització amb un altre exemple. Enlloc de Sn tenim Pn, que vol dir anar multiplicant els nombres fins a n, per a tot n major o igual a 2:

Substituïm n per a n=2, n=3, n=4, n=5 i n=6:

A partir d’això podem observar que:

I ara us toca a vosaltres! Proveu de generalitzar aquestes expressions:

 

RAONAMENT INDUCTIU: SÈRIES NUMÈRIQUES

Vegem ara, una altre forma d’aplicar el raonament inductiu: a les sèries numèriques.

Recordeu aquells passatemps que tracten de trobar els números que segueixen?

En aquesta entrada us proposem que poseu a prova el vostre raonament inductiu per intentar trobar els valors que segueixen a algunes sèries. Us atreviu?

Abans de res, us explicarem algunes que hem fet a classe per a que veieu com es fan:

Exemple 1:   1, 4 , 9 , 16 , 25 ,…

Fixeu-vos que entre 1 i 4 van tres. En canvi, entre 4 i 9 van 5, entre 9 i 16 van 7 i entre 16 i 25 van 9. Observant aquestes xifres (3, 5 , 7 i 9), és fàcil veure que són els nombres senars. Per tant, el següent nombre serà 25+11 = 36 i el següent 36 + 13 = 49, i així successivament…

Us heu fixat que aquests nombres són també nombres quadrats?

1=1² ,  4=2² , 9=3² , 16=4², 25=5²

 

Exemple 2:  1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 …

Aquesta sembla una mica més complicada i ens va portar una mica més de temps de treure-la, però tampoc és difícil observar que cada terme s’obté sumant els dos anteriors:

1+1 = 2, 1+2 =3, 2+3 = 5, 3+5=8, 5+8=13, 8+13=21, ….

Per tant, els següents termes seran: 89 (34+55) i  144 (55+89)0

Aquesta successió és tan especial que té nom propi. S’anomena successió de Fibonacci. Aquesta seqüència apareix en diversos patrons de la naturalesa i també té molta relació amb el nombre d’or o proporció Àurea. Però tot això ja ho veurem més endavant…

Exemple 3: 1 , 5 , 19 , 49 , 101 …

Què?! Aquesta ja és més complicada, no??

Quan en una sèrie no acabes de veure quin és el patró que segueix, a vegades un bon mètode per trobar-lo és fer les diferències successives. Aquest mètode consisteix en construir la successió que resulta de fer la resta entre els termes consecutius de la successió. A continuació, es torna a repetir aquest procés amb la nova successió fins que arribem a que aquestes restes són constants.

Fixeu-vos en aquesta animació que hem fet per a que entengueu aquest procés:

Sabíeu que també existeixen series gràfiques, amb dibuixos o figures. En la pròxima entrada veureu distribucions numèriques representades en figures. Veureu com també haureu d’utilitzar el raonament inducctiu.

Ara sí, us plantegem algunes sèries per a que les continueu vosaltres. A veure si sou capaços!

1) 8,13,23,38,58…

2) 7, 14, 16, 32, 34, ….

3) 3,14,31,54,83,118…

4) 5,15,37,77,141…

5) 1,4,11,22,37,56…

(Les respostes les publicarem pròximament als comentaris d’aquesta mateixa entrada)

EL RAONAMENT INDUCTIU

El raonament inductiu, inducció o mètode lògic inductiu és el procés de raonament pel qual s’arriba a una conclusió a partir de la generalització. Es parteix de l’observació d’una propietat per a casos particulars (premises), i aquest tipus de raonament ens permet generalitzar-la per a molts més casos arribant a la esmentada conclusió.

Veiem un exemple:

Premisses (casos particulars):

• He observat el corb número 1 i és de color negre.
• El corb número 2 també és negre.
• El corb número 3 també és negre.
  
• El corb número 4 també és negre
  

Conclusió (afirmació general):

• Aleshores, tots els corbs són negres.
  

En matemàtiques, aquest tipus de raonament ens permet elaborar conjectures.

Per exemple:

La suma de dos nombres parells és…

2+4= 6 -> Parell // 16+44= 60 -> Parell // 200+36 = 236 -> Parell

Veiem que tots els resultats particulars són parells, generalitzant podem dir que:

La suma de dos nombres parells és… parell.

Aquesta afirmació ens sembla que serà certa, però es veu que caldrà una demostració formal per a poder-ne estar convençuts…

A classe, hem fet uns exercicis en els quals hem pogut practicar el raonament inductiu. Aquí us posarem uns quants exemples resolts i alguns per resoldre.

Exemple 1: El producte de dos nombres senars és … ??

3×9=27 -> Senar // 25×3= 75 -> Senar //  33×11= 363 -> Senar

I com que tots són senars doncs…

El producte de dos nombres senars és… senar

Exemple 2: El quadrat d’un nombre parell és… ??

2² = 4 -> Parell // 4²= 16 -> Parell // 6²= 36 -> Parell

I com que tots són parells doncs…

El quadrat d’un nombre parell és… parell

Exemple 3: Si n és múltiple de 3 aleshores n² -n és múltiple de …. ??

n= 3  -> 3²– 3 = 6 // n = 6 -> 6² – 6 = 30 // n= 9 -> 9²  – 9 = 72

Observem que tots són múltiples de 3 i de 6 però com que tot múltiple de 6 també ho ha de ser de 3, per tant ser múltiple de 6 és més general, doncs…

Si n és múltiple de 3 aleshores n²-n és múltiple de…. 6

Exemple 4: Si n és un nombre enter qualsevol n²  + 3n + 4 és …. ??

n = 4 -> 16 + 12 + 4 = 32 // n = 7 -> 49 + 21 + 4 = 74 // n = 8 -> 64 + 24 + 4 = 92 

Observem que tots els nombres que hem obtingut són parells, per tant…

Si n és un nombre enter qualsevol n²  + 3n + 4 és …. parell

No sembla difícil, no?. Us atreviu a fer-ho vosaltres? 

Proveu-ho amb aquests exercicis, ja veureu que en sou capaços!

1. Si n² és senar, aleshores n és…
2. El producte de dos nombres senar és..
3. La suma d’un nombre parell i un senar és…
4. Si n és un nombre natural aleshores (2n-2)·(2n+1)·(2n+3) és múltiple de…
5. Si n és senar aleshores n3-n és múltiple de…
6. Si n és un nombre enter qualsevol n3+3n2+5n és múltiple de…
7. Si a un nombre (de més d’una xifra i que no sigui capicúa) li restem el nombre que resulta d’invertir les seves xifres el resultat és múltiple de…. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Axiomes, conjectures i teoremes

El raonament deductiu és aquell que partint d’unes condicions i seguint unes pautes lògiques¹ permet arribar a una conclusió. És un raonament que va del general al particular.

Perquè la conclusió d’un raonament deductiu sigui certa, les premisses (condicions) de les quals parteixen han de ser vertaderes.

Un axioma és una afirmació que no s’ha de demostrar ja que és evident i vertadera.

En l’obra Els elements d’Euclides, apareixen els cinc axiomes/postulats de la geometria Euclidiana:

1. Donats dos punts qualsevol només es pot traçar una recta que els uneixi.
2. Qualsevol segment pot prolongar-se de forma contínua en qualsevol sentit.
3. Es pot traçar una circumferència amb centre qualsevol punt i de qualsevol radi.
4. Tots els angles rectes són iguals.
5. Per un punt exterior en una recta, es pot traçar una única paral·lela a la recta.

A partir d’aquests axiomes es contrueix tota la geometria plana.

Al S.XVIII, es comença a comprovar la validesa del 5è axioma partint de la premisa de que sigui fals. A partir de la negació d’aquest, sorgeixen dues noves geometries:

1. GEOMETRIA HIPERBÒLICA:
   • Gauss, Lobachevsky i Bolyai
   • Van substituir el cinquè postulat pel següent axioma: “Per un punt exterior a una recta es poden traçar més d’una paral·lela a la recta donada”.
   • En aquesta geometria, la suma dels angles d’un triangle sumen menys de 180 graus.

2. GEOMETRIA ESFÈRICA:
   • Riemman
   • Va substituir el cinquè postulat pel següent axioma: “Per un punt exterior a una recta no passen rectes que no la tallin, és a dir, no existeixen rectes paral·leles.
   • En aquesta geometria, la suma dels angles d’un triangle sumen més de 180 graus.

Gràcies a aquestes dues geometries, Albert Einstein va poder elaborar, ara fa 100 anys, la Teoria de la Relativitat General, la qual diu que l’espai i el temps estan relacionats.

El raonament inductiu és aquell que partint de casos particulars permet formular afirmacions de caràcter general. Aquest tipus de raonament és utilitzat per realitzar hipòtesi o conjectures.

Una conjectura és una afirmació per a les quals hi ha bones intuïcions de que és vertadera però encara no ha estat demostrada, no té un raonament.

Un teorema és una afirmació que està demostrada i té una importància rellevant, en resum, és una conjectura demostrada.

 

¹Regles d’indiferència creades pel filòsof Aristòtil al S.IV aC.

A continuació, us deixem un video que explica algunes conjectures (problemes encara oberts) i alguns dels teoremes més famosos de les matemàtiques pel temps que van tardar en demostrar-se. Aquestes conjectures i teoremes els estudiarem al llarg d’aquesta matèria.

Us n’anirem informant!