La quadratura del cercle

La quadratura del cercle és un dels tres problemes clàssics de l’antigüetat. Aquest problema diu que no es pot construir amb regle i compàs un quadrat que tingui la mateixa àrea que un cercle (degut a que pi és trascendent, no és solució de cap equació). Ara us preguntareu: I quins són els altres dos problemes? Doncs mireu els matemàtics de la Grècia clàssica van proposar tres problemes geomètrics matemàtics:

  • La quadratura del cerclequadratura cercle
  • La trissecció de l’angle, que proposa, donat un angle qualsevol, construir un angle que sigui la tercera part de l’angle donat.trisecció angle
  • La duplicació del cub, que proposa donat un cub qualsevol, construir un altre cub de volum doble que l’anterior.duplicació cub

No va ser fins molts segles més tard que el francès Évariste Galois, nascut al 1811 i mort l’any 1832, va el·laborar la teoria que actualment porta el seu nom. La teoria de Galois feia així: “No existeix cap fórmula per les solucions de les equacions de grau superior a 4”. Amb aquesta teoria posà fi als tres problemes clàssics de la geometria grega, ja que demostra que cap dels tres no es pot construir amb regle i compàs.

Molts matemàtics van provar sense èxit de resoldre aquest problema, desde l’antiguetat clàssica al segle XIX, per això, en sentit figurat, diem que una cosa és “la quadratura del cercle” quan és molt difícil o és impossible.

Evariste_galoisÉvariste Galois va tenir una vida dura i molt curta. Pel que fa a la seva educació acadèmica va començar als dotze anys i no va ser fins als quinze que va entrar amb contacte amb les matemàtiques. Galois tenia clar que volia ser matemàtic i per això va fer les proves d’accés a l’ École Polytechnique l’any 1828, però per desgràcia seva va ser rebutjat. El destí no el va afavorir gaire i pocs dies abans de presentar-se al segon i definitiu examen d’accés a l’École Polytechnique, el pare d’Évariste es va suïcidar. I de nou va ser rebutjat. Aleshores va decidir fer la prova d’accés a l’École normale, que era de menys prestigi i allà si que el van acceptar. Però al juliol de 1830 els republicans es van revoltar i van obligar a l’exili al rei d’aquella època. Però el triomf dels republicans (entre els quals es trobava el jove Galois) va ser impedit per l’arribada al tron d’un nou rei, Lluis Felip d’Orleans. Galois va participar a totes les revoltes i manifestacions i per aquesta raó va ser expulsat de l’École Normale. A la primavera de 1831 (amb 19 anys) Galois va ser detingut i empresonat durant més d’un mes acusat de sedició. Inicialment va ser absolt, però va tornar a ser arrestat per una altra actitud sediciosa al juliol, i aquesta segona vegada va passar vuit mesos a la presó. Dos dies abans de la seva mort, Galois va ser alliberat de la presó. Évariste Galois, va morir durant un duel. La raó del duel era guanyar-se la dama a qui estimava i de la qual n’estava enamorat. El que queda per a la història és la nit anterior a l’esdeveniment. Évariste Galois estava tan convençut que moriria en aquell duel que va passar tota la nit escrivint cartes als seus amics republicans i component el que es convertiria en el seu testament matemàtic. Les seves últimes paraules al seu germà van ser:

“No ploris! Necessito tot el meu coratge per morir als 20 anys.”

En aquests últims papers va descriure els detalls del treball que havia desenvolupat. Va anotar una còpia del manuscrit que havia remès a l’acadèmia juntament amb altres articles.

Aquí us adjuntem un enllaç dels fragments de la pel·lícula “nada es casualidad 3:19” que explica la vida d’Évariste Galois:

Tot i que el cercle no es pot transformar amb quadrat tenint la mateixa àrea, està demostrat que sí que es pot fer amb tots els polígons.

A classe ho hem pogut comprovar fent els puzzles de poligons regulars. Aquí us deixem alguns exemples:

Quadratura de l’octàgon:

Quadratura del dodecàgon:

En el següent enllaç, del grupo Alquerque, podreu trobar les plantilles per a fer-vos els vostres propis puzzles i les seves solucions:

http://www.grupoalquerque.es/ferias/2004/p_regular.html

 

Anuncis

L’útim Teorema de Fermat

L’últim teorema de Fermat és i serà un dels problemes més importants de les matemàtiques. No el podem trobar dins d’un dels set problemes del mil·lenni perquè va ser resolt una mica abans del 2000, però va estar obert més de 350 anys.

El teorema diu: l’equació xn + yn = zn no té solucions enteres si n és igual o més gran que 3. Si n és igual a 2, trobem un teorema molt famós que segur que reconeixereu fàcilment… Sí, l’important i conegut teorema de Pitàgores.

Si t’hi fixes, x2 + y2 = z2 té infinites solucions enteres, tantes com triangles rectangles amb costats enters.

Per exemple:

  • x=3, y=4 i z=5 és solució ja que         32 + 42 = 52                9 + 16 = 25
  • x=5, y=12 i z=13 també ho és ja que  52 + 122 = 132           25 + 144 = 169

El Teorema de Pitàgores ens diu que és possible descomposar un quadrat (de costats enters) com a suma de dos quadrats (de costats enters).

En canvi…

l’equació   x3 + y3 = z3   no té solucions amb x,y,z nombres enters.

Provem per exemple   x=3, y=4 i z=5:         33 + 43 = 53            27 + 64 no és igual a 125

El Teorema de Fermat, en canvi, ens diu que no és possible descomposar un cub (de costats enters) com a suma de dos cubs (de costats enters), ni cap potència quarta com a suma de dues potències quartes…

teorema de fermat

I ara us deveu preguntar: “Quin pesat va inventar aquest teorema tan complicat i tant difícil de demostrar…?”

Pierre de Fermat (1601-1665) va ser un advocat i matemàtic occità, conegut principalment per les seves aportacions a la teoria de nombres, especialment pel teorema que porta el seu nom. Fermat no va publicar mai res: volia mantenir-se en el més absolut anonimat. Comunicava la major part de la seva obra matemàtica en cartes a amics, sovint sense o amb poques proves dels seus teoremes. El 1679, 24 anys després de la seva mort, el seu fill, Samuel, publicà Varia opera mathematica on es recull bona part de l’obra del seu pare.

Fermat sempre va considerar les matemàtiques com un entreteniment, un refugi de les contínues disputes amb les que havia de treballar com a jurista i advocat. Tenia tots els seus estudis en llibres i apunts. En el marge de la pàgina 85 del seu exemplar de l’Arithmetica de Diofant va escriure, sense demostració, la seva famosa conjectura:

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi, hanc marginis exiguitas non caperet. És impossible descomposar un cub en dos cubs, un biquadrat en dos biquadrats, i en general, una potència qualsevol, a part del quadrat, en dos potències del mateix exponent. He trobat una demostració realment admirable, però el marge del llibre és molt petit per posar-la.

Va ser tanta la repercusió d’aquest comentari que a l’edició del 1670 de l’obra de Diofant ja surt imprès l’observació de Fermat, el seu famós teorema.

Diophantus-II-8-Fermat

La demostració del problema va tardar més de 350 anys i va ser feta per Andrew Wiles; tot i així, molts matemàtics anteriors, com Fermat mateix, Euler, Sophie Germain i d’altres van contribuir posant el seu granet de sorra. El conjunt de totes aquelles petites demostracions van ajudar a Wiles a resoldre el complicat problema… Creieu, doncs, que Fermat tenia realment la demostració del teorema?

Andrew-Wiles-300x208Andrew Wiles va estar deu anys darrera el problema, compaginant la seva professió de professor d’universitat amb l’intent de demostrar el teorema, tot sense que ningú ho sabés. Al 1992, al final d’una conferència de matemàtiques que no estava relacionada amb el teorema de Fermat, Andrew Wiles va escriure a la pissarra: …i aquesta és la demostració de l’últim teorema de Fermat. Tothom es va quedar perplex. Al cap d’uns mesos van trobar un mínim error que va fer que la demostració no fos vàlida. Degut a això, Wiles amb l’ajuda d’un amic tornen a intentar demostrar el teorema. Creieu que ho aconseguiran? Doncs sí, aquest cop Wiles va poder demostrar finalment aquest teorema.

Molts dels estudis de Wiles per demostrar el teorema, van ajudar a resoldre altres petites conjectures.

A continuació us deixem un documental produït per la BBC en la sèrie Horizont, en el qual el propi Wiles ens detalla les diferents etapes que va passar per arribar a la demostració del teorema.

El Ultimo Teorema de Fermat from Moisés Toledo on Vimeo.

I també, us deixem el capítol 4 de la col·lecció Universo matemàtico, dedicat a Fermat i al seu famós teorema.

El Teorema de Poincaré

Us proposem el següent joc:

Sabríeu reconèixer quin d’aquests personatges és  considerat un dels més intel·ligent del món pel seu alt C.I (238) i per haver resolt un problema matemàtic que portava gairebé 100 anys sense resoldre’s?

Molt bé! De ben segur que ho heu encertat!

Aquest home de cabell despentinat, barba descuidada, ungles llargues, mirada perduda i amb roba vella ha revolucionat les matemàtiques, ha obert nous camps d’investigació, ha obtingut i refusat els premis més prestigiosos de matemàtiques, inclòs un milió de dòlars,  i ha resolt la famosa Conjectura de Poincaré.

Voleu saber una mica més d’aquesta història?

El Teorema de Poincaré és un dels set problemes del mil·lenni, proposats per l’institut Clay de Matemàtiques (sona bastant bé); de fet, és l’únic que s’ha resolt. Quan parlem dels “set problemes del mil·lenni” parlem dels que es consideren els problemes més importants de les matemàtiques, i els més difícils de resoldre. Aquests problemes són: P versus NP, La conjectura de Hodge, La hipòtesis de Riemann, l’existència i “mass gap” de la teoria de Yang-Mills, l’existència i “suavitat” de Navier-Stokes, la conjectura de Biirch i Swinnerton-Dyer, i la Conjectura de Poincaré”. Aquest últim és del que anirà l’entrada. Per cert, aquests problemes estan cadascun d’ells premiats amb un milió de dòlars per qui els resolgui.

Continua llegint

Teorema dels quatre colors

Quants colors creieu que fan falta per tal d’acolorir un mapa sense que dues regions limítrofes (que estan l’una al costat de l’altre) tinguin el mateix color sense considerar les que es tallen en un sol punt? Dos? Vuit? Cinc?

El teorema dels quatre colors diu que qualsevol mapa dibuixat sobre un pla o sobre una esfera es pot acolorir amb quatre colors distints de manera que dues regions adjacents no siguin del mateix color, com per exemple en aquest mapa

Francis Guthrie

El teorema va ser plantejat per primer cop l’any 1852 per Francis Guthrie a la seva germana després d’acolorir un mapa de Gran Bretanya. El problema es va plantejar de la següent manera: “Són suficients quatre colors per acolorir qualsevol mapa imaginable de manera que cap país amb límits comuns tingui el mateix color?”. I així una simple pregunta per divertir a una germana, es va convertí en un problema matemàtic que va estar obert més de 100 anys.

 

El teorema va ser demostrat l’any 1976 per Kenneth Appel i Wolfgang Hanken. Va ser una demostració que va crear una gran polèmica degut a que va ser assistida per un ordinador i per tant era impossible de comprovar a mà per un humà. Aquesta demostració es basava en demostrar que hi ha un conjunt particular de 1.936 mapes, cadascun dels quals no pot formar part d’un contraexemple de mida més petita pel teorema dels quatre colors i aquests mapes van ser comprovats per un ordinador. Anys més tard, el 1997, va ser demostrat d’una manera més senzilla per Neil Robertson, Daniel P. Sanders, Paul Seymour i Robin Thomas. El 2005, Benjamin Werner i Georges Gonthier van formalitzar una demostració del teorema dins de l’assistent de proves Coq. La resolució d’aquest teorema està molt lligada amb la Teoria de Grafs, ja que va definir termes i conceptes fonamentals per a l’estudi dels grafs (els grafs són col·leccions d’objectes, anomenats vèrtex connectats per línies anomenades arestes.

Kenneth Appel (sentat) i Wolfgang Hanken (dret)

Martin Gadner deia haver trobat un contra-exemple de la teoria dels quatre colors, però era fals. Aquí us deixem el mapa que va fer perquè el pugueu veure i provar de resoldre’l només usant quatre colors: http://www.xtec.cat/~jjareno/problemes/geometrics/4_colors_e.htm

Però… com podem estar segurs de que estem acolorint un mapa amb el mínim de colors necessaris? Doncs utilitzant l’algoritme d’acolorit.

Primer hem de saber que tot mapa, en el pla o en l’esfera pot ser representat mitjançant graf i si cap aresta es talla amb una altra el graf s’anomena planar. Així doncs, començarem l’algoritme fent el graf planar corresponent al mapa que volem acolorir. Cada regió serà un vèrtex i posarem una aresta entre els vèrtexs que representin regions contigües.

Tot seguit, ordenarem els vèrtexs en ordre decreixent segons el grau (nombre d’arestes que té un vèrtex).

Foto teorema dels 4 colors 3

Assignarem colors a cada vèrtex de la següent manera:

  1. Assignarem el primer color al primer vèrtex.
  2. Al segon vèrtex li assignarem el primer color si no és adjacent i si ho és li assignarem el segon color.
  3. Si el tercer vèrtex és adjacent a tots dos anteriors li assignarem el tercer color, si no és adjacent al primer vèrtex li assignarem el primer color i si és adjacent al primer, però no al segon vèrtex li assignarem el segon color.
  4. Seguirem amb aquest procés fins que haguem assignat un color a tots els vèrtex.

Finalment acolorirem el graf i tot seguit el mapa.

Foto teorema dels 4 colors FINAL

En aquest enllaç podreu veure aquest procés d’acolorit, pas a pas, per al mapa de les Comunitats Autònomes d’Espanya, i veureu que és suficient pintar-lo amb només 3 colors.

Els grafs planars van ser ideats per Euler, un famós matemàtic molt important. A continuació us deixem un vídeo sobre la vida d’aquest home.

A la següent entrada, uns companys nostres us explicaran com saber si un graf es pot recòrrer d’una sola passada!